Auf beiden Seiten den Grenzwert für n
1 1
rücksichtigt, dass
1
(a - 1)! r(a)
lim a (a -j- 1) , . . . (a -f- n)
oo genommen und be-
nach Definition, dann resultiert;
T(a) n = °
w v lim
r(a)
n! n
1.2.3 n . n a
oder
3 )
(6)
n = 00 a (a -f 1) (a + 2). ., (a -f n)
was die gesuchte Definitionsformel für die Gamma
funktion ist.
Hieran knüpfen wir nun noch einige Bemerkungen.
I) Aus (6) folgt:
™ \ Hm
a r ( a ) = n =
n !
00 (a -j- 1) . . . (a -J- n) \a -j- 1 -f- n
a —j— n —j— 1
. n
was richtig ist, da
a —(-- n 1
lim /a —(— n —j— 1
n = oo l n
a —j— 1 —f- n
== 1, so folgt, dass
1. Da aber auch
aT(a):
aT(a):
lim
1 . 2 . 3 . . . . n
oo (a -J- 1) . .. (a + n) (a -f n -)- 1)
a I 11 + 1\ a+l
. n
lim
n! n
a+l
= F(a + 1) nach Defi-
n = oo (a —j— 1) . . . (a —f— n —j— 1)
nition (6).
Damit ist eine wichtige Haupteigenschaft der
Gammafunktion nachgewiesen, die wir besonders hervorheben
wollen: I\a) . a = F(a -f- 1) (7)
Durch Wiederholung folgt:
T(a) . a (a -f 1) = T(a + 2)
T(a) . a (a -f- 1) (a -f- 2) = T(a -f- 3 ), allgemein
T(a) . a (a + 1) . . . (a + m — 1) =
a (a -f 1) . . . (a -f- m — 1) =
a -f- m), somit
T(a -[- m)
m
, was mit (2)
übereinstimmt d. h. wir haben eine Funktion F konstruiert, bei welcher
es gleichgültig ist, ob a positiv ganz sei oder nicht. Im Weitern zeigt
II) die Definitionsformel (6), dass die Funktion F{a) für endliche
Werte von a im allgemeinen stetig und differentiabel ist.