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somit nach Formel a),
wenn y
d
* a (1 - x) b ,
dx
(x‘(l_x) b ) = x*(l-x) k .j a -t b
X(1 — X)
(a -j- b) x 3 ' 1 (1 — x) b — b x“' 1 (1 — x) h ' L
d (x a (1 — x) b ) = (a -f- b) x 8 ' 1 (1 — x) b dx — b x a_1 (l —x) 15 ' 1 dx
Integriert man links und rechts von 0 bis 1
C d (x a (1 — x) b ) = (a-j-b) j* x a_1 (l—x) b dx—b j x a_1 (l—x) b_1 dx.
o O 0
Da aber j d (x a (l—x) b ) = |x a (l— x) b |^ — 0
o
I x a_1 (l—x) b dx = f (a, b + 1)
o
I x a_1 (l — x) b 'Mx = f (a, b), folgt
(a-j-b) f(a,b+l) — bf (a,b)=0
f, a -j~ b
f ( h) = —j—
f (a, b + 1)
analog f (a, b) = i- a -±^i!+iL+0 f( a . b + 2)
*»■-)- b a (^+i.^b + nr + n) na,l>+n + D (19)
In (19) wollen wir n unendlich gross werden lassen. Zuerst sei
untersucht, was dann aus dem Bruch
(a -{- b) (a -J- b -f-1).... (a -j- b -f- n)
b (b + 1)
. (b ■ ]-- n)
. lim
n! n b
Nach (6) ist n = ^
b (b —|— 1) . .. . (b —(— n) ““ 11 J:
1
r(b)
b(b-fl).... (b-f-n)
t b
n! n
Der Grenzwert sei
stillschweigend vorausgesetzt,
1
r(a -f-b)
(a —j— b) (a -j— b —j— 1)...
.. (a 4- b -f- n) n! n a+b
also
ß)
, also