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somit
Für n = 2 folgt
r dx 1 /v/n\’, r dx , . i. »r
j = t V ul)' aber j ^T^r=Ksinx}.= 1 -,
0 0
demnach
4) Als eine weitere sehr wichtige Anwendung ergibt sich die Formel
r(a) F( 1 — a) ==
sin a Tr
‘)
Aus Anwendung 2) folgt j x a ' 1 (1 — x)' a dx = r(a) F(1 — a),
4J
0
0 <C recp. a < 1.
Sieht man nun beim Integralausdruck links von den Grenzen ab,
so hat er nur drei ünstetigkeitspole 0, 1, oo; im Bereich von 0 ver-
hält er sich wie die transcendente Potenz x
a
a
im Bereich von 1
wie — (1 — x)" a|1 . Beide Potenzen gewinnen durch einen positiven
3.
Umlauf um die betreffenden Pole: die erste die multiplikative Konstante
e 1 - 27ra , die 2 te e 1,27r(1 ‘ a) = e‘ l,2yra , somit kehrt der Integrand nach
einem positiven Umlauf, welcher die Pole 0 und 1 einschliesst, wieder
auf den ursprünglichen Wert zurück. Im Bereich des dritten Poles, z. B.
längs eines um 0 mit sehr grossem Radius beschriebenen Kreises, be
trägt sich das Integral wie (—
also wie Konst, mal Log x
und gewinnt somit durch einen positiven Umlauf um das endliche Ge
biet die additive Konstante: Konst, mal 2 i 7t. Hier wird vermutlich
das bestimmte Integral seinen Wert offenbaren. Es sei demnach