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V2
N/2
r
\/2.^ 3/4 Q
v«
(29)
Die Berechnung von j hängt auf sehr interessante Weise
mit der Rektifikation der Lemniskate zusammen.
Die festen Punkte dieser Kurve seien — 1 und -f- 1, dann lautet
ihre Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten
(y 2 -f x 2 ) 2 — 2 (x 2 — y 2 ) = 0.
■
\ -l /
V c
\ X +W -
\ 7
-X
Wählen wir den Ursprung als Pol, und führt man y = r sin p,
x = r cos p ein, so folgt als Gleichung der Kurve in diesen Polar
koordinaten
r = \/2 cos 2 p.
Nun sei das Bogenelement der Kurve mit du bezeichnet, dann
ist bekanntlich
(du) 2 = (dr) 2 (r dp) 2
2 sin 2 p
dr = —
\J2 cos 2 p
d p
(du) 5
du =
4 sin 2 p_ -j- 2 cos 2 p . (dp)‘ c
2 cos 2 <p K Y ' r \ r
\ß
\/cos 2 p
-dp. Nun sei cos 2 p
sin 2 <p dp = — S d S
SdS
d cp -
1 — S 2 , wo S — sin. am.
SdS
sin 2 cp \/l — cos 2 2 cp
SdS
\/l — (1 — S 2 )