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Funktion Log F{a) in der Westgegend des Horizonts nicht angeben,
trotzdem dies längs des übrigen grössten Teiles des Horizontes mög
lich ist. Es heisst dies nichts anderes, als dass die Funktion Log F(a)
für a = oo eine ihr eigentümliche Unstetigkeit besitzt, welche durch
keine andere bekannte Funktion dargestelll werden kann. Dieser un
bestimmbare Charakter haftet auch der Restfunktion S an, daher ist
es unmöglich, sie in eine konvergente Reihe, die nach Potenzen wie
—5 —-r-j -Ar> • • • forlschreilet, zu entwickeln. Man hilft sich dann da
a a^ a d
auf folgende Weise:
Man entwickelt dennoch auf mehrere Glieder und stellt den Rest
dar. entweder durch ein Doppelintegral oder dann durch eine konver
gente Sumraenreihe einfacher Integrale, die fortschreitet wie
—• • • wo m eine weit über 2 liegende positive ganze Zahl bedeutet.
Ist a gross, z. B. = 10, so hat die Reihe die sonderbare Eigenschaft,
dass ihre Glieder anfangs nach Art einer geometrischen Progression
stark bis zu einem Minimum abnehmen und von da an ins Masslose
wachsen. Summiert mau nun nur dies zu diesem Minimum, so hat man
Log F(a) berechnet bis zu einer gewissen Genauigkeit, aber diese Genauig
keit ist mit einem Fehler behaftet, der ungefähr gleich diesem Minimum
ist. Setzt man sich die Fehlergrenze höher als der unvermeidliche
endliche Fehler angibt, so kann man eine solche divergente Reihe
immerhin zur Berechnung der angenäherten Funktionswerte gebrauchen
und thut dies auch wirklich. Man nennt solche Reihen semi-
konvergent. Die Benennung ist jedoch ungeschickt, denn be
kanntlich ist eine unendliche Reihe entweder konvergent, oscillierend
oder divergent. Ein vierter Fall existiert nicht. Die fragliche Ent
wicklung setzt die Kenntnis der Bernoulli’sehen Zahlen
voraus, das heisst der KoeiRcienten in der Entwicklung —-— nach
e x — 1
steigenden Potenzen von x und überdies noch die Kenntnis der Ber-
noulli’sehen Funktionen, d. h. der ganzen Funktionen
X (n, x), welche in der Entwicklung von
e
y e‘
n=oo
1 (n, X) . f
auftreten.
1
n=0
