Die Strahlencongruenzen erster Ordnung.
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findlichen Strahlen der Congruenz, deren sämmtliche Punkte dem je
weiligen Schnitte correspondiren und die also die den n Schnitten
entsprechenden Hauptgeraden in Z' sind.
Die weiteren Hauptpunkte in ZI sind die Funkte, in denen diese
Ebene von den singulären Curven durchschnitten wird, und der Grad
der Vielfachheit eines jeden dieser Funkte als Hauptpunkt ist die Ord
nung h seines singulären Kegels; denn dessen Spur in Z' ist die ent
sprechende Hauptcurve.
Weil die zu einer Geraden l von ZI gehörige Fläche (7) die Z'
in einer Curve (n -j- l) ter Ordnung schneidet, so ist die Verwandtschaft
{n -j- l) ten Grades.
Die Formeln (2) und (8) von Cremona:*)
Zr 2 x r = n 2 — 1, Zrx r — 3 (n — 1)
für eine Transformation w ten Grades, in denen x r die Zahl der r-fachen
Hauptpunkte (denen eine Hauptcurve r ter Ordnung im andern Felde
entspricht) in dem einen oder andern Felde ist, geben, auf unsere
Transformation (n -f- l) ten Grades angewandt, nachdem aus ihnen die
n auf ZZ' gelegenen Hauptpunkte des Feldes^ weil sie nicht auf
einer singulären Curve der Congruenz liegen, ausgeschieden sind,
unsere Formeln II und III.
Bei der Doppelsecanten- Congruenz der cuhischen Raumcurve s 3 ist
die Verwandtschaft 4. Grades; die Regelflächen (l) oder (l') sind von
der Art IV (Nr. 41). Es seien S 1} S 2 , $ 3 ; Sf, Sf, S 3 die Begeg
nungspunkte von s 3 auf Z urid Z' und U i , U 2j U 3 die Schnitte von
Sf S 3 , Sj Sf, Sf Sf mit Z, so sind letztere die auf ZZ' gelegenen
einfachen Hauptpunkte von Z, während S l} S 2 , S 3 die drei doppelten
sind, denen in Z' als Hauptcurven die drei Kegelschnitte entsprechen,
in welche s 3 aus diesen Punkten projicirt wird.
Bei den Congruenzen der zweiten Gattung ' seien S, S' die Spuren
der singulären Geraden s und S lr .. ., S„; Sf, ... S n ' diejenigen der
singulären Curve s n in den beiden Ebenen. Jene sind w-fache, diese
einfache Hauptpunkte; zu ihnen kommen, als weitere einfache, die
Spuren TJ X ,... Un von 8' (Sf,... Sn) in Z, und die Spuren Uf,... Un
von 8{8 X , ... S n ) in Z'.
Folglich handelt es sich um eine Transformation (n -f- l) ten Grades
mit je einem n-fachen und 2n einfachen Hauptpunkten, also eine Jon-
quières^che**) oder, wie Jonquières sie nennt, eine isographische
Transformation.
*) im zweiten Aufsatze; Formeln 1) und 3) bei Salm ou-Fiedler.
**) Jonquières, Nouvelles Annales de Mathématiques Ser. II Bd. 3 (1864)
S. 97 ; Giornale di Matematiche Bd. 23 S. 48.
Sturm, Iàniengeometrie. II.
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