§ 39. Definition und Gleichung der Ellipse. 
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Die von irgend einem Punkte P der Ellipse nach den Brenn 
punkten gezogenen Strahlen heißen Brennstrahlen. 
Aus der Definition ergibt sich 
die folgende mechanische Erzeu- 
7? 
gungsweise der Ellipse. Befestigt 
man in den beiden Brennpunkten 
F und F' die Enden ei es Fadens, 
dessen Länge größer als FF' ist, 
und führt einen Stift so, daß er 
den Faden fortwährend gespannt 
erhält, so beschreibt der Stift eine 
Ellipse. Aus dieser Entstehungsweise erkennt mau, wie auch 
aus der Definition, daß die Ellipse eine geschlossene Linie ist. 
Um ihre Gleichung abzuleiten, wählen wir FF' als x- 
Achse und den Mittelpunkt von FF' als Anfangspunkt eines 
rechtwinkligen Achsensystemes. Es sei 
FF' = 2c, FF = y , FF' = / 
und die konstante Summe der beiden Brennstrahlen r und r 
gleich 2a. Dann muß r-)-/>2c, folglich a>c sein. Nun ist 
r = ]/(c — xf + y 2 , r = Y(c + x) 2 + y 2 , 
und man erhält daher als Gleichung der Ellipse: 
(1) ]/(c — x) 2 + y 2 + Y(c + x ) 2 + y 2 = 2a. 
Um die Gleichung von den Wurzeln zu befreien, quadriere 
man, wodurch sich zunächst ergibt: 
2(x 2 + y 2 + c 2 ) + 2]/(ir 2 + y 2 + c 2 ) 2 — ±c 2 x 2 — 4a 2 . 
Durch nochmaliges Quadrieren erhält man: 
(x 2 + y 2 + c 2 ) 2 — 4c 2 x 2 = (([x 2 4- y 2 + C 2 ) — 2 a 2 ) 2 
und hieraus durch Ausrechnen: 
x 2 (a 2 — c 2 ) + y 2 a 2 — a 2 (a 2 — c 2 ) = 0. 
Da a > c ist, so kann man zur Abkürzung 
(2) 
setzen und erhält dann, nach Division mit a 2 h 2 , die Gleichung: 
(3) 
= 1.