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§ 55. Polargleicbung der Hyperbel. Konjugierte Hyperbeln. 137 
Berücksichtigt man sin 2 w = 1 — cos 2 m und a 2 -f b 2 = c 2 , 
so geht die Gleichung (4) über in: 
a 2 h 2 
(5) . . 
Man bedient sich nun, wie bei der Ellipse, der Bezeichnung: 
( 6 ) ” == £ 0 > !) 
und nennt, im Gegensätze zu der linearen Exzentriziät c, 
die Größe s die numerische Exzentrizität. Die Polar 
gleichung der Hyperbel nimmt dann die Form an: 
(7) r 2 = ? 
die sich nur durch das Vorzeichen von der entsprechenden 
Ellipsengieichung unterscheidet (§ 41). 
Aus (5) ersieht man, daß der Halbmesser r für u — 0 
seinen kleinsten Wert, nämlich a, erhält und daß r mit 
wachsendem u ebenfalls zunimmt. Während aber bei der 
Ellipse r immer endlich bleibt, wächst bei der Hyperbel der 
Halbmesser über alle Grenzen, je mehr sich u dem durch die 
Gleichung 
c 2 cos 2 u — a 2 = 0, 
oder 
(8) b 2 cos 2 u — a 2 sin 2 u = 0 
definierten Werte von u nähert. Läßt man daher u von u = 0 
an wachsen, so wird r unendlich groß, sobald 
(9) 
tg « = + - 
wird. Nimmt u weiter zu, so wird r 2 negativ, also r ima 
ginär, bis 
(10) = 
geworden ist. Für diesen Wert wird r wieder unendlich 
groß und nimmt dann mit wachsendem u allmählich ab, 
bis es für u — 180° wieder den kleinsten Wert, nämlich a 7 
erreicht. 
Da durch (9) und (10) die Asymptoten bestimmt werden, 
so sieht man, daß diese als Durchmesser zu bezeichnen 
sind, die die Hyperbel im Unendlichen treffen. 
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