§ 3. Bestimmung eines Punktes durch sein Teilverhältnis. 5 
richtig beachtet wird. Man nennt das Verhältnis der beiden 
P P 
Teilstrecken P t P und PP 2 , also den Quotienten -^=-, das 
Teilverhältnis des Punktes P in Bezug auf die Fun 
damentalstrecke PjP^ Zu jedem Punkte P gehört dann 
eine ganz bestimmte Zahl, nämlich sein Teilverhältnis, und 
zwar ist dieses positiv für alle Punkte zwischen P x und P 2 , 
weil dann P t P und PP 2 gleichgerichtet sind, und negativ 
für alle Punkte außerhalb der Fundamentalstrecke, weil 
dann immer P t P und PP 2 entgegengesetzte Richtungen haben. 
...PP 
Sehen wir nun zu, wie sich das Teilverhältnis das wir 
kurz mit A bezeichnen wollen, ändert, wenn P die unendliche 
Gerade durchläuft. 
Befindet sich P in P v so ist offenbar sein Teilverhältnis 
A = 0. Bewegt sich dann P von P t bis zum Mittelpunkte M 
der Fundamentalstrecke, so wird A allmählich größer und er 
reicht in M den Wert -f 1. Geht P über M hinaus bis zu 
P 2 , so wächst A über alle Grenzen; für P 2 selbst ist daher 
A = -f oo zu setzen. Würde sich P von der entgegengesetzten 
Seite her dem Punkte P 2 genähert haben, so hätte A immer 
größere und größere negative Werte angenommen, sodaß dem 
Punkte P 2 dann das ¡Teilverhältnis — oo zuzusprechen wäre. 
(Man vergleiche damit das Verhalten von tg a für a = 90°.) 
Für alle Punkte außerhalb der Fundamentalstrecke ist A, 
wie schon bemerkt, negativ, und zwar erkennt man, daß, wenn 
sich P außerhalb und auf der Seite von P 2 befindet, A alle 
mal zwischen — oo und — 1 liegt, daß dagegen, wenn P 
außerhalb und auf der Seite von P 1 liegt, A allemal Werte 
zwischen 0 und — 1 besitzt. Es fragt sich noch, welchem 
Werte nähert sich A, wenn sich P nach der einen oder der 
anderen Seite der Geraden ins Unendliche bewegt? Da 
ist, so folgt: 
(2) 
P X P = P,P 2 -PP 2 
i _ PJL i i P P - 
pp 2 pp 2 ’ 
Mag sich nun P nach der einen oder der anderen Seite 
P P 
hin ins Unendliche bewegen, so wird sich immer mehr