(3) 
r — ex — a, r = ex + a. 
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Fünftes Kapitel: Die Hyperbel. 
Ellipse hergeleitet haben, in unveränderter Weise auch für die 
Hyperbel. Wir empfehlen dem Leser, als eine nützliche Übung, 
alle diese Sätze für die Hyperbel von neuem abzuleiten und 
namentlich auch die in den betreffenden Paragraphen befind 
lichen Aufgaben auf die Hyperbel anzuwenden. 
Hier möge nur noch der folgende Satz erwähnt werden: 
II. Die Polare eines Punktes einer Asymptote ist 
dieser parallel; sie fällt mit ihr zusammen, wenn der 
Punkt der unendlich ferne Punkt der Asymptote ist. 
Aufg. 1. Man konstruiere mit Hilfe des vollständigen 
Vierecks zu einem gegebenen Punkte die Polare in Bezug auf 
eine gegebene Hyperbel. 
Aufg. 2. Man konstruiere zu einer gegebenen Geraden 
den Pol und berechne auch seine Koordinaten aus den zu- 
gehörigen Gleichungen Ax + Jßy +0=0 und ^ — y* = 1. 
Aufg. 3. Man beweise durch direkte Rechnung die Richtig 
keit von Satz II. Man hat zu diesem Zwecke nur zu zeigen, 
daß der Richtungskoeffizient der Polaren von (+, y t ) gleich 
+ — ist, sobald w. = + - x. ist. 
— a ’ — a 1 
§ 64. Brennpunktseigenschaften. 
Für die zu einem beliebigen Punkte der Hyperbel 
(1) 
gehörigen Brennstrahlen r und r hatten wir gefunden: 
(2) r 2 = (c — x) 2 + y 2 , r' 2 = (c + x) 2 + y 2 . 
Durch Subtraktion folgt: 
(/ + r) (/ — r) = 4 cx, 
und da r— r = 2a ist: 
r + r = 2— x = 2 sx, 
H. 7 
a 
wo s die numerische Exzentrizität bedeutet. Hieraus und aus 
r — r = 2a ergibt sich dann: