§ 64. Brennpunktseigenschaften. 
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Y. Der Ort der Fußpunkte der Lote, die man von 
den beiden Brennpunkten auf die sämtlichen Tan 
genten einer Hyperbel fällen kann, ist der mit dem 
Radius a um den Mittelpunkt der Hyperbel beschrie 
bene Kreis. Oder auch: Die Hyperbel wird umhüllt 
von dem einen Schenkel eines rechten Winkels, dessen 
Scheitel einen festen Kreis durchläuft, während der 
andere Schenkel durch einen außerhalb gelegenen 
festen Punkt hindurchgeht. 
Aufg. 1. Beachte, daß die Gleichung r — r = 2a den 
Brennstrahlen r und r Vorzeichen zuweist, wie auch die 
Gleichungen (3) zeigen. Diskutiere mit Rücksicht hierauf die 
Gleichungen (6) und beachte § 14. 
Aufg. 2. Leite die Gleichung der Normalen ab und zeige, 
daß die Gleichungen (12), (13), (14) von § 51 auch für die 
Hyperbel gelten. Beweise hieraus Satz III. 
Aufg. 3. Beachte, daß die Tangente und die Normale 
mit den beiden Brennstrahlen ein harmonisches Büschel 
bilden. 
Aufg. 4. Konstruiere in einem Punkte der Hyperbel 
Tangente und Normale. 
Aufg. 5. Konstruiere von einem Punkte außerhalb der 
Hyperbel die Tangenten mit Hilfe der Gegenpunkte. 
Aufg. 6. Diskutiere die übrigen Aufgaben von § 51 für 
die Hyperbel, insbesondere Aufg. 12. 
Aufg. 7. Beweise, daß der Abstand eines Brennpunktes 
von einer Asymptote gleich h ist (spezieller Fall von II). 
Aufg. 8. Beweise, daß sich eine Ellipse und eine Hy 
perbel, die dieselben Brennpunkte haben (konfokal sind), 
rechtwinklig schneiden, d. h. daß in einem Schnittpunkte die 
Tangente der einen Kurve die Normale der anderen ist. Kon 
struiere zu zwei gegebenen Brennpunkten das zugehörige System 
konfokal er Ellipsen und Hyperbeln.