§ 72. Gemeinsame Darstellungen von Ellipse, Hyperbel und Parabel. 181 
unter Benutzung von Polarkoordinaten ableiten wollen. Der 
feste Punkt F werde zum Anfangspunkte und die Richtung 
des von F auf die feste Gerade gefällten 
Lotes FG zur positiven Richtung der #-Achse 
gewählt. Es sei FG = d und das gegebene 
konstante Verhältnis gleich a. Ist P ein Punkt 
des Kegelschnittes, so ist; 
PF 
PQ = 
Hat nun P die Polarkoordinaten r, u, so folgt 
(in der Figur ist u ein stumpfer Winkel, also 
cos u negativ): 
PQ = 31G = d 
und demnach; 
r cos u 
woraus sich ergibt: 
d e 
1 -(- £ COS U 
Diese Gleichung besteht zwischen den Polarkoordinaten 
eines jeden Punktes des Kegelschnittes, aber auch nur eines 
solchen Punktes. Sie heißt die Polargleichung des durch 
die Größen d und s definierten Kegelschnittes. Für u = 90° 
erhält man die zu dem Brennpunkte F gehörige Ordinate, 
nämlich: 
r = FR = da. 
Setzt man daher da = p, wo also jetzt p den Halbparameter 
bedeutet, so läßt sich die Polargleichung des durch p = da und a 
definierten Kegelschnittes in der Form schreiben: 
(5) r = -j-- p 
v ' 1 -(- f cos u 
Sie stellt eine Ellipse, eine Parabel, oder eine Hy 
perbel dar, je nachdem a < 1, a = 1, oder £>1 ist. 
Aus dieser Darstellung folgt unmittelbar der Satz (vergl. 
auch § 41, Aufg. 5, und § 55, Aufg. 7): 
II. Alle Kegelschnitte mit derselben numerischen 
Exzentrizität sind einander ähnlich. 
Insbesondere sind alle Parabeln einander ähnlich.