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Erstes Kapitel: Der Punkt. 
nicht nur jener lästigen Unterscheidung, sondern sie macht 
auch die Formel inhaltsreicher: Durch den absoluten Wert 
von d erhalten wir die absolute Länge des gesuchten Ab 
standes, gleichzeitig aber gibt uns das Vorzeichen von d an, 
auf welcher Seite der Geraden der Punkt P liegt. Ist d positiv, 
so befindet sich P auf derselben Seite wie der Anfangspunkt 0, 
die von P und 0 gefällten Lote d und 8 sind dann gleich 
gerichtet; ist d dagegen negativ, so liegt P auf der entgegen 
gesetzten Seite, d und 8 sind entgegengesetzt gerichtet. Die 
Gerade trennt also die Punkte, für die der Ausdruck 
d — —■ (x cos a -f y cos ß — 8) 
einen positiven Wert besitzt, von denen, für die er einen 
negativen Wert annimmt. 
Die Punkte der Geraden selbst, und nur diese, sind durch 
d — 0 ausgezeichnet. Der Ausdruck x cos a + y cos ß — 8 ver 
schwindet daher jedesmal, aber auch nur dann, wenn x,y 
die Koordinaten eines Punktes der Geraden sind, oder; 
Die Gleichung x cos a + y cos ß — d = 0 ist eine 
Gleichung, die von den Koordinaten x, y eines jeden 
Punktes der Geraden, aber auch nur von solchen, er 
füllt wird. 
Ist das Koordinatensystem rechtwinklig, also ß = 90°— a, 
so ist d = — (x cos (Kr + y sin a — 8), und die eben besprochene 
charakteristische Gleichung lautet dann: 
x cos a -f y sin a — 8 = 0. 
Diskutiere die Lage der vier Geraden, die durch 
= 30°, 120°, 210° und 300° ausgezeichnet sind. 
In einem rechtwinkligen Systeme sei eine Ge- 
2, cos a = 4, sin a = I- bestimmt. Welchen 
Anfg. 1. 
8 = 5 und a 
Aufg. 2. 
rade durch 8 
= sin a = bestimmt. 
Abstand von ihr hat der Punkt (— 3, 5)? Deute das Zeichen. 
Aufg. 3. Welcher Gleichung genügen die Koordinaten 
eines jeden Punktes der vorhergehenden Geraden? Liegen die 
Punkte (1, 1); (—2, 6); (3, —2) auf der Geraden? In welchen 
Punkten trifft die Gerade die Achsen und ihre beiden Winkel 
halbierenden?