§ 36. Pol und Polare. 87 
können. Umgekehrt ist leicht einzusehen, daß die Tangente 
in jedem dieser beiden Punkte durch (x 0 , y 0 ) hindurchgeht. 
Denn bezeichnet man einen dieser Punkte mit x, y', so ist 
x (i x + y 0 y' = r 2 . Diese Gleichung läßt sich aber auch so 
deuten, daß sie aussagt, der Punkt (x 0 , y 0 ) liege auf der zu 
(x, y ) gehörigen Tangente x'x + y y = r 2 . 
Zu jedem Punkte (x 0 , y 0 ) der Ebene ergibt sich also auf 
diese Weise eine ganz bestimmte zugehörige Gerade: 
(4) x 0 x + y 0 y = r 2 . 
Sie wird die Polare des-Punktes (x 0 , y 0 ) in Bezug auf den 
gegebenen Kreis, und umgekehrt der Punkt (x 0 ,y 0 ) der Pol 
der Geraden x 0 x + y 0 y = r 2 genannt. 
Die Polare des Punktes (x 0) y 0 ) schneidet also aus dem 
Kreise die Berührungspunkte der beiden Tangenten aus, die 
man von (x 0 , y 0 ) an den Kreis legen kann, und heißt daher 
auch die Berührungssehne des Punktes (x 0 , y 0 ). Da der 
Abstand dieser Polaren vom Mittelpunkte gleich , 8 ' 8 
/ x o “r i/o 
ist (§ 22), so erhält man zwei reelle und von einander ver 
schiedene, zwei reelle aber zusammenfallende, oder gar keine 
Schnittpunkte, je nachdem (x 0 , y 0 ) außerhalb, auf dem Um 
fange, oder innerhalb des Kreises liegt. Im ersten Falle kann 
man von (x 0 , y 0 ) aus zwei von einander verschiedene Tan 
genten an den Kreis legen, im zweiten Falle erhält man eine 
einzige, mit der Berührungssehne zusammenfallende Tangente, 
im dritten Falle gar keine reellen Tangenten. 
/ Aufg. 1* Die Berührungspunkte der Tangenten zu finden, 
die man von (5, — 3) an den Kreis x 2 -f y 2 = 16 legen kann. 
Aufg. 2. Finde durch Vergleichen mit x 0 x + y 0 y r 2 
den Pol der Geraden Ax + By +0=0 in Bezug auf den 
Kreis x 2 + y 2 = r 2 . 
X Aufg. 3. Bestimme die Polare des Punktes (x 0 , y 0 ) und 
den Pol der Geraden Ax + By +0=0 in Bezug auf den 
Kreis (x — p) 2 + (y — q) 2 = r 2 . 
Aufg. 4. Löse dieselbe Aufgabe für den Kreis 
ax 2 + ay 2 + hx + cy + d = 0.