88 
Drittes Kapitel: Der Kreis. 
Aufg. 5. Statt, wie im Texte angegeben, die Berührungs 
punkte aus (1) und (3) zu ermitteln, kann man (1) auch mit 
der Gleichung kombinieren, die sich ergibt, wenn man (3) 
von (1) subtrahiert. Was stellt diese Gleichung dar? Die 
Interpretation führt zu der bekannten geometrischen Kon 
struktion der Berührungspunkte. 
37. Die Potenz eines Punktes in Bezug auf einen Kreis. 
3?ig. 82. 
Zieht man durch einen beliebigen Punkt P 1; mit den 
Koordinaten x x , y x , eine unter dem Winkel cp gegen die x-Achse 
geneigte Gerade, so kann man die Koor 
dinaten x, y eines jeden Punktes P der 
Geraden durch 
(1) x = x x -\- QC,OS cp, 
ausdrücken, insofern 
wird; denn man hat 
x — x. 
V = Vi + Q sin 9 
P X P — q gesetzt 
cos cp 
sin cp 
y~y i 
Q 
(§7u.8). 
Indem man dem veränderlichen Para 
meter q alle Werte von — oo bis -f- oo beilegt, erhält man 
aus (1) alle Punkte der unendlichen Geraden. (Durch Elimi 
nation des Parameters p würde man auf die bekannte Gleichung 
y — y x — tg cp • (x — x x ) der Geraden geführt werden.) 
Sei jetzt ein beliebiger Kreis, mit dem Radius r, und ein 
beliebiger Punkt P x gegeben. Der Einfachheit halber wählen 
wir den Mittelpunkt des Kreises zum Anfangspunkte, sodaß 
die Kreisgleichang x 2 -)- y 2 — r 2 lautet. 
Durch P x werde unter dem Winkel cp eine Gerade ge 
zogen, deren Punkte durch (1) bestimmt sind. Soll nun ein 
beliebiger Punkt P dieser Geraden zugleich auf dem Kreise 
liegen, so muß sein: 
(x x + Q COS cp) 2 + {y x + 9 sin <P) 2 = r 2 , 
oder: 
(2) p 2 + 2q(x x cos cp + y x sin cp) -f- x x + y x — r 2 — 0. 
Diese in q quadratische Gleichung liefert die beiden Schnitt 
punkte der Geraden mit dem Kreise (§ 34).