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§ 42. Die Gleichung der Kugel. 
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Gleichungen dieser Ebenen und gib die Länge, die Richtungs 
kosinus und die Gleichungen des kürzesten Abstandes der 
beiden Kanten P X P 2 und P 3 P 4 an. 
Aufg. 9. Bestimme die Länge und die Richtung des 
kürzesten Abstandes der beiden Parallelen 
x — x y = y —y t = ¿ — und x — x t = y — y, = * — g, _ 
I n t l v S 
Aiifg. 10. Wie modifizieren sich die Gleichungen des 
Textes und die Aufgabe 5, wenn die beiden gegebenen wind 
schiefen Geraden zueinander normal sind? 
Fünftes Kapitel. 
Die Kugel. 
§ 42. Die Gleichung der Kugel. 
Die Kugel ist der Ort aller Punkte, die von einem 
festen Punkte gleiche Abstände haben. 
Der gegebene feste Punkt heißt der Mittelpunkt, der 
konstante Abstand der Radius der Kugel. Jede durch den 
Mittelpunkt gehende Sehne wird ein Durchmesser der 
Kugel genannt. 
Bezeichnet man mit a, h, c die Koordinaten des Mittel 
punktes M, mit x, y, z die eines beliebigen Punktes P der 
Kugel und mit r den Radius, so ist nach Definition: 
(1) (je — af + (y — h) 2 + {z — c) 2 = r 2 . 
Für alle Punkte (x, y, z) innerhalb der Kugel ist die linke 
Seite dieser Gleichung kleiner, für alle Punkte außerhalb 
der Kugel größer als r 2 (§ 10, Gleich. (4)). Die Gleichung (1) 
wird demnach allemal, aber auch nur dann, erfüllt, wenn 
x, y, z die Koordinaten eines Punktes der Kugel bedeuten; 
wir nennen sie daher die Gleichung der Kugel. 
Durch besondere Wahl des Mittelpunktes erhält mau 
spezielle Kugelgleichungen, unter denen folgende hervorgehoben 
werden mögen: