80 Viertes Kapitel: Die gerade Linie und ihre Gleichungen. 
Viertes Kapitel. 
Die gerade Linie und ihre Gleichungen. 
§ 35. Jede Gerade besitzt zwei gleichzeitig bestehende 
Gleichungen von der Form Ax + Ey + Cz A D = 0, und 
umgekehrt, je zwei simultane Gleichungen dieser Form 
stellen eine Gerade dar. 
Durch eine gegebene Gerade g seien zwei beliebige Ebenen 
gelegt mit den Gleichungen A x x -f- JB x y + C x z -f JD X = 0 und 
A 2 x + B 2 y + C 2 z D 2 = 0. Dann muß jeder Punkt, dessen 
Koordinaten x, y, z den beiden Gleichungen gleichzeitig ge 
nügen, ein Punkt der Schnittlinie g der beiden Ebenen sein, 
und umgekehrt müssen die Koordinaten eines jeden Punktes 
von g die beiden Gleichungen gleichzeitig befriedigen. Man 
nennt diese daher die Gleichungen der Geraden g. Jede 
Gerade g besitzt also zwei simultane Gleichungen der 
angegebenen Form. Da aber auch umgekehrt je zwei in x, y, z 
lineare Gleichungen zwei Ebenen mit einer bestimmten Schnitt 
linie darstellen (für den Fall des Parallelismus sagt man, die 
Schnittlinie sei die unendlich ferne Gerade der Ebenen) und 
daher gleichzeitig allemal, aber auch nur dann, befriedigt 
werden können, wenn x, y, z die Koordinaten eines Punktes 
der Schnittlinie bedeuten, so ist damit der ausgesprochene Satz 
vollständig bewiesen. 
Scheinbar besitzt jede Gerade nicht nur ein Paar, sondern 
unendlich viele Paare linearer Gleichungen. Denn wird eine 
Gerade g durch die Gleichungen E x = 0, E 2 = 0 zweier Ebenen 
definiert, so kann sie ebenso gut durch die Gleichungen zweier 
beliebiger anderer Ebenen des Ebenenbüschels 
Aj E t -f- A 2 E 2 — 0 
dargestellt werden. Bedeuten aber E' = 0, E" = 0 die Glei 
chungen eines zweiten Ebenenpaares des Büschels, so sieht 
man sofort, daß sie sich als einfache Umformungen aus den 
Gleichungen des ersten Paares ergeben, insofern ja E' und E" 
stets lineare Kombinationen von der Form X t E x -f- k 2 E 2 sein 
müssen. Daraus ergibt sich der Satz: