Die Flächen zweiten Grades. 
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Innenfläche erfolgt ganz analog dem früheren. Diese Grenzkurven 
sind teils Schatten der inneren Gewindekante s, teils Schatten der 
Kanten des Gewindeschnittes im Hauptmeridian. Ihre Punkte werden 
auf Erzeugenden (z. B. MN) der betreffenden Schraubenflächen ge 
funden, indem man ihre Grundrißschatten mit denen der schatten 
werfenden Kurven schneidet (z. B. in 0*) und den zugehörigen Licht 
strahl zurück verfolgt. 
ELFTES KAPITEL. 
Die Flächen zweiten Grades. 
Pole und Polarebenen, Durchmesser und Diametralebenen; Achsen. 
641. Unseren Ausgangspunkt bildet die Definition: eine Fläche 
2. Grades wird von jeder Ebene in einem Kegelschnitte 
(Ellipse, Parabel, Hyperbel, Geradenpaar) geschnitten, falls diese 
Ebene mit der Fläche überhaupt eine reelle Kurve gemein 
hat. Sehen wir von Kegel- und Cylinderflächen ab, so haben wir in 
der Kugel und in den Rotationsflächen 2. Grades spezielle Beispiele 
unserer Flächen, Aus der Definition können wir unmittelbar folgern, 
daß jede Gerade die Fläche in zwei Punkten trifft, falls 
sie überhaupt reelle Punkte mit ihr gemein hat. Denn eine Ebene 
durch diese Gerade schneidet die Fläche in einem Kegelschnitte, 
auf dem auch die Schnittpunkte der Geraden mit der Fläche liegen 
müssen. Die beiden reellen Schnittpunkte einer Geraden mit einer 
Fläche 2. Grades können auch zusammenfallen, dann wird die Gerade 
zur Tangente und der Punkt zum Berührungspunkte. 
Die Eigenschaft, daß eine Fläche 2. Grades von jeder Geraden 
in zwei reellen oder konjugiert imaginären Punkten getroffen wird, 
wird meistens bei der Definition und Behandlung der Flächen 2. Grades 
an die Spitze gestellt; es bleibt dann immer zu zeigen, daß jede 
ebene Kurve ein Kegelschnitt ist, wenn sie von jeder Geraden in zwei 
reellen oder konjugiert imaginären Punkten geschnitten wird. Wir 
wollen die imaginären Punkte nicht direkt in die Definition der 
Flächen 2. Grades aufnehmen, umsoweniger, als wir erst im An 
schlüsse an die Kegelschnitte, allerdings unabhängig davon, die De 
finition der konjugiert imaginären Punkte gegeben haben (848).