Die Flächen zioeüen Grades. 
223 
affinen Kreis u 0 und suche zu Ä, B', C die affinen Punkte A 0 , B 0 , C 0 . 
Eine Ellipse, durch Ä 0 , B 0 , C Q , die den Kreis u 0 zweimal berührt, 
kann als orthogonale Projektion eines Kreises aufgefaßt werden, der 
auf einer Kugel mit u 0 als größtem Kreise liegt. Sind A 2 , B 2 die 
senkrecht über Ä 0 resp. B 0 liegenden Punkte der Kugel und A 3 , B 3 
die dazu symmetrischen (A 2 A Q = A 0 A 3 , B 2 B 0 = B 0 B 3 ), so liegen 
auf A 0 B 0 zwei Punkte J 0 und K 0 , in denen sich die Sehnen 
A 2 B 2 und A 3 B 3 resp. A 3 B 2 und A 2 B 3 schneiden. Um sie zu zeichnen 
ist die Ebene durch A 2 A 3 und B 2 B 3 um A 0 B 0 umgelegt; die um 
gelegten Punkte sind ebenso wie die Raumpunkte bezeichnet, sie 
liegen auf dem Kreise mit dem Durchmesser DB, wo DE die durch 
A 0 und B 0 gehende Sehne von u 0 ist. Ganz analog findet man auf 
A 0 C 0 zwei Punkte L 0 und if 0 , in denen sich die Kugelsehnen A 2 C 2 
und A 3 C 3 resp. A 2 C 3 und A 3 C 2 schneiden. 
Die Ebene A 2 B 2 C 2 schneidet die Ebene von u 0 in / 0 Ü 0 , der 
Kugelkreis durch A 2 , B 2 , C 2 trifft u 0 in seinen beiden Schnittpunkten 
mit / 0 Z 0 ; seine Projektion geht durch A 0 , B 0 , C 0 und berührt u 0 
in den genannten Punkten (sie sind in der Figur imaginär). Der 
Kugelkreis durch A 3 , B 2 , C 2 trifft u 0 in S 0 und T 0 , den Schnitt 
punkten von u 0 mit K 0 M 0 ; seine Projektion geht wieder durch Ä 0 , B 0 , C 0 
und berührt u 0 in S 0 und T 0 . Bestimmt man zu S 0 und T 0 auf u 0 
die affinen Punkte 8 und T auf u, so giebt es eine Kurve c durch 
Ä, B', C, die u in 8 und T berührt; hieraus kann man beliebig 
viele Punkte von c zeichnen. Es giebt vier Kurven durch Ä, B', C, 
die u zweimal berühren; ihre Berührungspunkte liegen auf JE, KM, 
JM, KL respektive. 
702. Die voranstehende Behandlung des Problems bedarf noch 
nach zwei Richtungen hin einer Ergänzung. Zunächst können zwei 
der gegebenen Punkte konjugiert imaginär sein; es ist dann eine 
Ellipse zu zeichnen, die durch einen reellen und zwei kon 
jugiert imaginäre Punkte geht und die Ellipse u zweimal 
berührt. Genau wie vorher geht man wieder von der Ellipse 
zum affinen Kreise über und führt die Konstruktion für diesen 
aus (Fig. 456). Es sei u 0 der Kreis, A 0 der reelle Punkt; die 
imaginären Punkte mögen auf der Geraden h 0 liegen und als 
Doppelpunkte einer Involution definiert sein, der die Punktepaare 
D 0 , B 0 und F 0 , G 0 angehören. Es gilt nun nach 354 die beiden 
Punkte J 0 und K 0 zu finden, die einerseits ein Punktepaar der 
Involution andererseits ein Paar harmonischer Pole von u 0 bilden. 
Zu diesem Zwecke wähle man Q auf u 0 so, daß QO J_ h 0 ist; die 
Verbindungslinien von Q mit D 0 , E 0 , F 0 , G 0 schneiden dann u 0 in