224 
Die Flächen zweiten Grades. 
den Punktepaaren D 1 , E x und F v G x einer Involution, deren Cen 
truin in N = I) X E X x liegt. Die Verbindungslinie von N mit 
dem Pole B 0 von k 0 schneidet 
n 0 in J x und K x ; dieses 
Punktepaar gehört erstens 
der Involution auf dem Kreise 
an und liegt zweitens zu 
dem Punktepaare u 0 X h 0 
harmonisch. QJ X und QK X 
schneiden deshalb aus h 0 die 
gesuchten Punkte J 0 und 
K 0 aus. 
Durch J 0 gieht es nun 
eine reelle Gerade h 2 , auf 
der die Involution harmo 
nischer Pole in Bezug auf die Kugel durch u 0 als größten Kreis so 
beschaffen ist, daß ihre Projektion sich mit der Involution auf h 0 
deckt. Um h 2 zu zeichnen lege man die senkrechte Ebene h 0 h 2 
um h 0 in die Zeichenebene um (die umgelegte Gerade ist wieder 
mit h 2 bezeichnet). Die Polarebene von J 0 geht durch K Q und ist 
normal zur Zeichenebene, sie enthält den Punkt K 2 von h 2 , wenn 
K 2 K 0 J_ A 0 ist; J 0 und K 2 sind aber harmonische Pole der Kugel. 
Dem unendlich fernen Punkt von h 2 gehört als Polarebene eine zu 
h 2 senkrechte Ebene durch den Kugelmittelpunkt 0 zu. Ist OP das 
Lot von 0 auf h 0 und PM 2 das Lot von P auf h 2 , so ist M 2 har 
monischer Pol zu dem unendlich fernen Punkte von h v d. h. Mittel 
punkt der Involution harmonischer Pole auf h 2 . Seine Projektion 
M 0 muß deshalb Mittelpunkt der Involution auf h 0 sein, d. h. auf 
QjV liegen; denn die Tangente in Q ist zu h 0 parallel und schneidet 
h 0 in demjenigen Punkte, der in der Involution dem Punkte M 0 
entspricht. Somit läßt sich M 2 als Schnittpunkt von M 0 M 2 J_ h 0 mit 
dem Halbkreise über P/ 0 konstruieren. Die Gerade J 0 M 2 = h 2 trägt 
nach der Konstruktion zwei Paare harmonischer Pole, deren Pro 
jektionen zwei Punktepaare der Involution auf h 0 bilden, demnach 
projiziert sich jedes Paar harmonischer Pole von h 2 als ein Punkte 
paar der Involution auf h 0 . Die Gerade h 2 hat also mit der Kugel 
zwei imaginäre Punkte gemein, die sich als die imaginären Doppel 
punkte der auf h 0 gegebenen Involution projizieren. 
Jeder der beiden Punkte Ä 2 und A 3 der Kugel, deren Projek 
tion Ä Q ist, bestimmt mit h 2 eine Ebene; diese schneiden die Kugel 
in zwei Kurven, deren Projektionen die verlangten Eigenschaften