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Die Flächen zweiten Grades. 
wie jeder andere. Der Ort dieser Punkte bildet eine Kurve, die 
Striktionslinie; zu jeder Schar gehört eine Striktionslinie. Auf 
jeder Erzeugenden g gehört derjenige Punkt der Striktionslinie an, 
durch den die gemeinsame Normale zu ihr und der Nachbargeraden 
g 1 geht. Legt man durch g 1 eine erste Ebene parallel zu g und 
dann eine zweite senkrecht zu jener, so schneidet die letztere g in 
einem Punkte der Striktionslinie. Nun schneidet jede Ebene durch 
g 1 aus der Fläche noch eine Erzeugende der anderen Schar aus, 
die im allgemeinen g im Endlichen trifft. Ist jedoch die Ebene E 
durch g x parallel zu g, so muß sie eine Erzeugende der zweiten Schar 
enthalten, die zu g parallel ist; diese Ebene enthält also zwei parallele 
Erzeugende, d. h. sie berührt die Fläche in dem unendlich fernen 
Punkt von g. Eine Ebene A durch g x senkrecht zu E schneidet 
die Fläche in einer Erzeugenden der anderen Schar, die g in dem 
Punkte der Striktionslinie und g x in dem Berührungspunkte der 
Ebene trifft; beide Punkte sind aber unendlich nahe und können 
durch einander ersetzt werden. In jedem Punkte der Strik 
tionslinie steht also die Tangentialebene senkrecht auf 
der Ebene, welche durch die bezügliche Erzeugende und 
die dazu parallele Erzeugende der anderen Schar geht, 
also den Mittelpunkt enthält. 
709. Das hyperbolische Paraboloid und seine Strik 
tionslinien. Die Achse des Paraboloides mag senkrecht zum 
Grundriß sein, dann projizieren sich die Erzeugenden beider Scharen 
als Parallelen. Ist etwa ursprünglich ein windschiefes Viereck ABCD 
gegeben, dessen Seiten auf dem Paraboloide liegen sollen, so erhält 
man den Durchmesser in A, indem man die zu CD parallele Ebene 
durch AB schneidet mit der zu BC parallelen Ebene durch AD. 
Nun ist die orthogonale Projektion des Vierecks ABCD auf eine zur 
Durchmesserrichtung normale Ebene TT 1 ein Parallelogramm A'B'C"D’. 
Im Scheitel S des Paraboloides, dem Endpunkt seiner Achse, stehen 
die Erzeugenden auf der Achse senkrecht, sind also zu Dj parallel. 
Legt man durch A und B Ebenen parallel zu und schneiden 
diese CD in A x und B v so teilt jede zu parallele Ebene die 
Strecken AB und AL 1 B 1 in dem nämlichen Verhältnis. Die Ver 
bindungslinie dieser Teilpunkte ist eine Erzeugende der Fläche, 
wenn ihre Projektion zu A'D' und CB' parallel ist, und zwar ist 
sie dann die eine Erzeugende durch den Scheitel. Schneiden sich 
also A'A\ und B'B\ in E und geht g durch E parallel zu A'D', 
so ist g die Projektion einer Erzeugenden durch den Scheitel S, 
d. h. S' liegt auf g. Denn g teilt A'B' und A\B' 1 in dem näm-