Verschiedene Flächen. 
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auf dem nämlichen Kurvenzweige von s und bewegt sich P auf d, 
so durchlaufen E l und P 2 den ganzen Kurvenzweig. Denn ein Um 
kehren der Bewegung kann nicht stattfinden, da durch jeden Punkt 
von s nur eine Erzeugende geht (in den Doppelpunkten kann jeder 
Zweig für sich betrachtet werden). Durchlaufen hierbei E 1 und P 2 
die Kurve in entgegengesetzter Richtung, so giebt es gewisse Lagen, 
für die e 1 und e 2 zusammenfallen. Eine solche Gerade wird Torsal 
lin ie der Regelfläche, der zugehörige Punkt auf der Doppelkurve 
Kuspidalpunkt genannt. Die Fläche wird längs der Torsallinie 
von der nämlichen Ebene berührt. Das eine der beiden Stücke der 
Doppelkurve, die in einem Kuspidalpunkt Zusammenstößen, verläuft 
isoliert, da keine reellen Erzeugenden durch seine Punkte hindurch 
gehen. Während jede Schnittkurve durch den beliebigen Punkt P 
von d einen Doppelpunkt besitzt, dessen beide Tangenten in Ebenen 
liegen, die durch die Tangente von d in P und die Erzeugenden 
resp. e 2 gehen, schneidet jede Ebene durch einen Kuspidalpunkt die 
Fläche in einer Kurve mit Spitze. Jede Ebene durch eine Torsal 
linie berührt die Fläche in dem zugehörigen Kuspidalpunkt; denn 
alle übrigen Punkte der Torsallinie haben eine bestimmte gemein 
same Tangentialebene, Jede Umrißlinie und jede Eigen 
schattengrenze geht durch alle Kuspidalpunkte hindurch 
und berührt in ihnen die zugehörige Torsallinie. Es folgt 
dieses einfach aus den Definitionen dieser Kurven. Vielfache Kurven 
der Regelfläche lassen sich ähnlich wie die Doppelkurven unter 
suchen, wenn man jedesmal nur zwei der Flächenmäntel durch die 
vielfache Kurve in Betracht zieht. 
7*35. Wir wenden uns jetzt der Erzeugung der Regel 
flächen zu. Die Zahl der Geraden im Raume ist eine vierfach 
unendliche. Demnach ist die Zahl der Raumgeraden, welche drei 
einfache Bedingungen erfüllen, einfach unendlich groß, d. h. diese 
Geraden sind die Erzeugenden einer Regelfläche. Diese Bedingungen 
können von der verschiedensten Art sein und es möge einige hier 
aufgezählt werden. 
Eine Regelfläche entsteht, wenn eine Gerade als Erzeugende 
an drei festen Kurven, den Leitkurven, hingleitet, wobei sie be 
ständig gemeinsame Sekante dieser Kurven bleibt. Legt man aus 
einem Punkte der ersten Leitkurve Kegelflächen durch die zweite 
und dritte, so sind ihre gemeinsamen Mantellinien Erzeugende der 
Regelfläche. Von den drei Leitkurven kann auch eine unendlich 
fern gewählt werden, d. h. es können zwei Leitkurven und der 
Richtungskegel der Regelfläche gegeben sein. Es lassen sich dann