276 Verschiedene Flächen. 
im Grundriß sichtbar, aber in der Figur weggelassen, da es in der 
Projektion nur sehr klein erscheint. 
739. Die Regelflächen 3. Grades. Wir haben soeben in 
dem Plücker’schen Konoid einen speziellen Fall der Regelfläche 
3. Grades kennen gelernt und wollen nun die allgemeine Regelfläche 
3. Grades studieren und einige ihrer wesentlichsten Eigenschaften 
ableiten. Die gemeinsamen Sekanten eines Kegelschnittes c 
und zweier windschiefer Geraden d und /, von denen die 
erstere den Kegelschnitt in einem Punkte schneidet, bilden 
eine Regelfläche 3. Grades. In der That giebt es unter diesen 
Sekanten drei, die eine beliebige Gerade g treffen. Denn die ge 
meinsamen Sekanten von g, /, d bilden die eine Schar eines Hyper 
boloides, das von c in vier Punkten getroffen wird, worunter sich 
auch der Punkt F) = c x d befindet. Durch die drei übrigen Punkte 
geht je eine Gerade der Schar; diese Geraden sind aber Erzeugende 
der Regelfläche und schneiden g. Unsere Fläche ist von der 3. Ord 
nung und der 3. Klasse und heißt vom 3. Grade (726). Durch 
jeden Punkt F von l geht eine Erzeugende der Fläche, sie ver 
bindet P mit dem Schnittpunkt R des Kegelschnittes c und der 
Ebene Fd. Durch jeden Punkt Q von d gehen zwei Erzeugende 
der Fläche, sie verbinden Q mit den Schnittpunkten P x und P 2 des 
Kegelschnittes und der Ebene Ql. ist eine Doppel-, / eine 
einfache Gerade der Regelfläche. Die beiden Tangentialebenen 
durch l an die Kurve c schneiden die Doppelgerade d in den beiden 
Kuspidalpunkten; ihre Verbindungslinien mit den bez. Berührungs 
punkten auf c sind die Torsallinien. Kuspidalpunkte und Torsal- 
linien können reell oder konjugiert imaginär sein. 
740. Jede Ebene durch eine beliebige Erzeugende f 
der Regelfläche schneidet sie noch in einem Kegelschnitt /, 
da die gesamte Schnittkurve von der 3. Ordnung sein muß. Man 
kann das aber auch leicht direkt nachweisen. Sei TT die Ebene 
durch c, seien J), L und F die Spurpunkte von d, / und f in TT, 
sei ferner s (durch F) die Spurlinie der schneidenden Ebene Z 
(durch /) und K ihr zweiter Schnittpunkt mit c (der erste ist F). 
Eine beliebige Ebene A durch d schneide l in F und c in P; 
dann ist FR eine Erzeugende, die Z in einem Punkte J der 
Schnittkurve i trifft, ln J schneiden sich die Ebenen Z, A und 
PRK, so daß J in Z als Schnittpunkt zweier Geraden u — Z X A 
und v = Z X PRK erscheint. Dreht sich nun A um d, so bewegt 
sich auch P auf / und R auf c, und zwar ist der Büschel der 
Ebenen A projektiv zu der Reihe der Punkte P und zu dem Büschel