Verschiedene Flächen. 
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jedem weiteren Punkt auf c entspricht dann ein bestimmter Punkt 
auf l, indem vier Punkte auf c und die entsprechenden aut' l gleiches 
Doppelverhältnis aufweisen müssen. Um uns von der Richtigkeit 
des voranstehenden Satzes zu überzeugen, gehen wir von drei Punkten 
]i, 77 2 , 77 3 auf c und den entsprechenden 1 J V P 2 , 7 J 3 auf / aus und 
suchen zu dem Punkte 7 J 4 auf /, der in der Ebene von c liegt, den 
entsprechenden Punkt 77 4 auf c. Die Gerade 77 4 P 4 schneidet c noch in 
einem Punkte 77; durch diesen legen wir eine Gerade d, welche die 
Erzeugenden 77 3 und 77 2 7- > 2 schneidet. Der Ebenenbüschel mit der 
Achse d schneidet / und c in projektiven Punktreiheu, in denen sich 
die Punkte 77 3 und 1\, 77 2 und P 2 . 77 4 und P 4 entsprechen. Eine be 
liebige Erzeugende trifft also c und l in entsprechenden Punkten 
dieser Reihen, d. h. alle Erzeugenden treffen die Gerade d, die eine 
Doppelgeradc der Regelfläche sein muß. Hiermit sind aber die 
Erzeugenden wiederum als gemeinsame Sekanten von d, l und c 
uachgewiesen. 
74-d. Durch die Doppelgeradc d, die Lcitgeradc l und fünf 
Erzeugende c 3 , c 2 , c 3 , c 4 , c 6 , die d und l schneiden, sonst aber be 
liebig gewählt werden können, ist eine Regelfläche ß. Grades völlig 
bestimmt. Denn legt man durch eine dieser fünf Erzeugenden etwa 
e 5 , eine beliebige Ebene, so schneidet sic die übrigen in vier Punkten 
7? , 777 3 , J>\ resp. und man kann durch diese und den Punkt 
JD = d X c 5 einen Kegelschnitt c legen. Die gemeinsamen Sekanten 
von d, 7, und c liegen auf einer Regelfläche ß. Grades, der die 
Geraden e v r 2 , . . ., e 5 angehören. 
Jede Regelilächo ß. Grades kann aber auch in der soeben ge 
schilderten Weise erzeugt werden. Denn sind e v c. v . . ., e 5 fünf 
beliebige Erzeugende auf ihr, so kann man zu e v e t , c 3 , e 4 die beiden 
gemeinsamen Sekanten d und / aulsuchen; diese gehören dann der 
Regelfläche an, da sic vier Punkte mit ihr gemein haben, sie 
schneiden deshalb auch die Erzeugende e e und ebenso jede andere. 
Eine beliebige Ebene durch e 5 muß die Fläche noch in einem Kegel 
schnitt c schneiden, ihre Erzeugenden sind also die gemeinsamen 
Sekanten von c, d und /. Eine der Geraden d und l — es sei 
dies d — muß aber die Kurve c schneiden, denn sonst wäre die 
Regelfläche mit den Leitlinien c, d, l vom 4. Grade; hiermit sind 
wir wieder zu der ursprünglichen Erzeugung der Fläche gelangt. 
Durch fünf Geraden e r c. v . . ., e 5 mit zwei gemeinsamen 
Sekanten d und l giebt es offenbar zwei Regelflächen ß. Grades; 
die eine hat d zur Doppel-, / zur einfachen Geraden, die andere 
hat l zur Doppel- und d zur einfachen Geraden. Außer den ge