Verschiedene Flächen. 
287 
dazu projektiven Büschel [f) mit dem Scheitel 11' = g X TT'. Ver 
möge der Projektivität der Ebenen TT' und TT entspricht dem Büschel 
(/") mit dem Scheitel R ein projektiver Büschel (/*) in TT mit dem 
Scheitel H. Die projektiven Büschel (?) und (/’) erzeugen einen Kegel 
schnitt, der c in vier Punkten schneidet. Schneiden sich in einem 
dieser Punkte A x die Strahlen i x und /j, so liegen i x und f x in einer 
Ebene durch g als entsprechende Strahlen der Büschel (i) und (/"); f x 
geht durch A x und die Erzeugende A x A x trifft g. Das beweist, daß 
jede Gerade g von vier Erzeugenden der Fläche geschnitten wird. 
753. Jede Erzeugende der Regelfläche trifft zwei andere 
Erzeugende, d.h. sie trägt zwei Punkte ihrer Doppelkurve J; 
sie bestimmen sich wie folgt. Sind A x und A x entsprechende Punkte 
von c und c, also e x = A X A X eine Erzeugende, so sind A x und A x 
die Scheitel projektiver Büschel, deren entsprechende Strahlen die 
Kurven c und c in entsprechenden Punkten schneiden. Treffen sich 
zwei entsprechende Strahlen dieser Büschel, so liegt in ihrer Ebene 
eine Erzeugende, die natürlich e x schneidet. Dieses tritt aber zwei 
mal ein, da beide Strahlbüschel die Gerade s in zwei projektiven 
Punktreihen schneiden und diese zwei Doppelpunkte besitzen (320). 
Jede Ebene durch zwei Erzeugende schneidet die Regelßäche 
noch in einem Kegelschnitt; die Erzeugenden treffen alle diese 
Kegelschnitte in projektiven Punktreihen. Je zwei dieser Reihen 
können zur Definition der Regelfläche benutzt werden. Auch in 
den Ebenen TT und TT' liegen je zwei Erzeugende; die beiden in 
TT verbinden die Schnittpunkte c X TT mit den entsprechenden 
Punkten auf c. 
753. Alle Ebenen durch je zwei Erzeugende schneiden 
jede solche Ebene in den Tangenten eines Kegelschnittes. 
Wir brauchen nur zu zeigen, daß die Spurlinien aller dieser Ebenen 
in TT einen Kegelschnitt k umhüllen. Zwei Erzeugende A X A X und 
B X B X {A x und B x auf c, A x und B x auf c) schneiden sich, wenn 
A X B X und A X B X sich in einem Punkte P x von s treffen. In den 
projektiven Ebenen TT' und TT entsprechen sich aber A X B X und 
A X B X und dem Punkte P x von A X B X ein Punkt P x auf A X B X . so 
daß A X B X — P X P X ist. Der Punktreihe (P') auf s in TV entspricht 
in TT eine projektive Punktreihe (P) auf einer Geraden r, und die 
Verbindungslinien P { P- (t = 1,2,8, . . .) entsprechender Punkte um 
hüllen einen Kegelschnitt k. Der Geraden PP/ in TT entspricht 
eine Gerade durch P! in TT', die erstere schneidet c in A v B v die 
letztere c in den entsprechenden Punkten J/,P/; beide liegen in 
der nämlichen Ebene durch P/, so daß sich A { Al und BB! schneiden.