Verschiedene Flächen. 
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der Tangentialebenen in entsprechenden Mantellinien die 
Erzeugenden einer Regelfläche 4. Grades. 
Es ist nun noch zu zeigen, daß die Geraden A.A? die eine Schar 
eines Hyperboloides bilden, wenn die Reihen {A) auf c und (A°) auf 
c° projektiv und die Punkte A x und A 2 beiden Reihen entsprechend 
gemeinsam sind. Der Büschel A X {A 2 A 3 A^ . . . .) in TT ist projektiv 
zu dem Büschel A^A^A^A* . . . .) in TT°, und da der erste Strahl 
in beiden übereinstimmt, sind sie perspektiv, d. h. die Geraden A t AP 
liegen in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch A 1 geht; 
ebenso liegen sie in den Ebenen eines Büschels, dessen Achse durch 
A 2 geht. Beide Ebenenbüschel sind projektiv, denn sie schneiden 
TT in projektiven Strahlbüscheln; ihre entsprechenden Ebenen 
schneiden sich also in den Geraden der einen Schar eines Hyper 
boloides. 
Die doppelte Erzeugungsweise unserer Flächen zeigt, daß aus 
einer Regelfläche 4. Grades durch reciproke Raumtrans 
formation wieder eine Fläche von gleicher Art hervorgeht. 
Zu jeder Eigenschaft der Regelfläche giebt es demnach eine duale 
Eigenschaft. Aus dem Satz über die Ebenen durch zwei Erzeugende 
folgt; daß die Doppelkurve der Regelfläche 4. Grades eine 
Raumkurve 3. Ordnung ist, die vier Kuspidalpunkte trägt, 
was man auch daraus hätte schließen können, daß jede Ebene diese 
Kurve in drei Punkten schneidet. 
755. Wir betrachten jetzt die Fälle, in denen die projektiven 
Reihen [A) auf c und {A') auf c eine besondere Lage zu einander 
einnehmen. Wir haben gesehen, daß die Ebenen durch zwei Er 
zeugende die feste Ebene TT in den Tangenten eines Kegelschnittes 
k schneiden. Diese Tangenten gingen durch die entsprechenden 
Punkte zweier projektiver Reihen; die eine Reihe lag auf s, die 
andere auf einer Geraden r, beide Reihen entsprachen sich bei der 
projektiven Beziehung der Ebenen TT' und TT. Wir wollen nun 
annehmen, daß bei der projektiven Beziehung der Kegel 
schnitte c und c und der dadurch bedingten projektiven 
Beziehung ihrer Ebenen TT und 17' ein Punkt 0 der Geraden 
s — TT X TT' sich selbst entspricht. Dann sind einerseits die 
Punktreihen auf s und r perspektiv, die Verbindungslinien ent 
sprechender Punkte dieser Reihen gehen also durch einen festen 
Punkt L von TT. Diesem Büschel in TT mit dem Scheitel L entspricht 
in der projektiven Ebene 17' ein Büschel mit dem Scheitel L'; ihre 
entsprechenden Strahlen schneiden sich nach der Konstruktion auf s. 
Je zwei solche Strahlen schneiden aber c und c in entsprechenden 
Rohn u. Päpperitz. II. 19