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Verschiedene Flächen. 
A.A! ebenfalls l und m trifft, erkennt man wie folgt. Die beiden 
Strahlbüscbel L{A 1 A 3 A i A i ) und L{A X 'A 3 A^A!) haben gleiches Doppel- p U] 
Verhältnis; sie liegen perspektiv, da L auf A X A X liegt. Deshalb 4 ( 
schneiden sich die Ebenen LA 3 A s r , LA^A^ und LA.A! in einer e j n< 
Geraden, d. h. A.A! trifft die Gerade /, in der sich die beiden ersten g^ 
Ebenen schneiden. q. 6] 
Jede Ebene durch eine Doppelgerade schneidet die Fläche noch ¿j e 
in zwei Erzeugenden; jede Ebene durch die Doppelerzeugende ent 
hält noch einen Kegelschnitt der Fläche. Durch jeden Punkt von l p 0 
gehen zwei Erzeugende, die gemeinsamen Sekanten von c und m, h a ] 
sie schneiden also c in einem Punktepaare, dessen Verbindungslinie j n 
durch M geht. ’Die Erzeugenden der Regelfläche sind die zeu 
gemeinsamen Sekanten zweier Geraden l und m und eines unc 
Kegelschnittes c. Dabei ist es gleichgültig, ob die Sekante LM, p) 0 ^ 
die in der Ebene des Kegelschnittes c liegt, diesen schneidet oder (j er) 
nicht. Im ersteren Falle ist LM eine wirkliche Doppelerzeugende, y ec 
in ihr durchschneiden sich zwei Mäntel der Regelfläche; im letzteren anc | 
Falle verläuft die Doppelerzeugende LM isoliert, sie liegt nicht auf Plä 
der Regelfläche selbst. Durch die Berührungspunkte der von M an c p ro 
gelegten Tangenten gehen zwei Torsallinien, deren Kuspidalpunkte e i n( 
auf l liegen; analog giebt es zwei Torsallinien mit Kuspidalpunkten * wo j 
auf m. ein« 
Der Tangentialkegel aus einem Punkte der Doppelerzeugenden p 0 ] 
an die Regelfläche ist von der 2. Ordnung. Denn jede Gerade durch die 
den Scheitel dieses Kegels trifft noch zwei Erzeugende der Fläche, y ei 
es gehen durch sie also noch zwei Tangentialebenen des genannten unc 
Kegels. Man kann die Sache auch noch genauer verfolgen, indem y ei 
man die gleiche Methode anwendet wie früher bei der Regelfläcbe p U] 
4. Grades mit einer Doppelkurve 8. Ordnung. Hiernach folgt, daß e i n , 
die Erzeugenden der Regelfläche auch als die Tangenten e i n 
einer Kegelfläche 2. Ordnung, die zwei feste Geraden l m o 
und m treffen, angesehen werden können. Die gemeinsame c |. ] 
Sekante von / und m durch den Kegelscheitel ist die Doppelerzeu 
gende; die Schnittpunkte des Kegels mit den Doppelgeraden l und » ei n , 
m sind die Kuspidalpunkte und die bezüglichen Torsallinien berühren die 
den Kegel in ihnen. p U] 
Auch die Regelflächen 4. Grades mit zwei Doppelgeraden und r Pai 
einer Doppelerzeugenden gehen bei einer reciproken Raumtransfor- ail f 
mation wieder in Flächen derselben Art über. ihn 
757. Sind nun alle Regelflächen 4. Grades von einer der be- ent 
handelten drei Arten? Ohne Zweifel, wenn es auf ihnen Kegel-