Full text: Lehrbuch der darstellenden Geometrie (2. Band)

Verschiedene Flächen. 
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direkt nachweisen. Ist c x irgend ein Horizontalschnitt der Fläche, 
dann stehen je zwei entsprechende, auf der nämlichen Erzeugenden 
liegende Punkte von c und c 1 , etwa P und P x auf p, in der folgenden 
Beziehung zu einander. Ihre Abstände von DF stehen in einem 
konstanten Verhältnis — es ist gleich dem Verhältnis der Abstände 
des Punktes R von den Ebenen der Kurven c und c x — ebenso 
stehen ihre Abstände von AB in einem konstanten Verhältnis. 
Daraus folgt, daß die Kurven c und c x affin sind (17), was den 
Satz beweist. 
Vier beliebige Horizontalschnitte, etwa c und c v m und /, be 
stimmen auf jeder Erzeugenden zwei Strecken, die in einem kon 
stanten Verhältnis stehen. Sind X' und Y' die Krümmungsmittel 
punkte für die Scheitelpunkte Ä und JE und sind A x und E x die 
entsprechenden Scheitel von c v so ist: AÄ X : X'S' = EE X : S'Y' oder: 
AA X ; EE X — S'E : AS'. Nehmen wir also AA X — ES', folglich 
EE X = AS', so kommt durch Subtraktion: A x 8' = S'E X , wenn AS' 
und AA X die gleiche Richtung haben; dagegen kommt durch Addition: 
A X S' — S'E X , wenn AS' und AA X entgegengesetzte Richtung haben. 
Unter den Horizontalschnitten der Normalenfläche sind demnach 
zwei Kreise, der eine hat die Differenz der Halbachsen von c zum 
Radius, der andere ihre Summe. Letzterer ist in der Figur wegen 
seiner Größe weggelassen, ersterer als Kreis k eingetragen; u be 
rührt k' in vier Punkten (p ist als gemeinsame Tangente von u 
und K in einem dieser Punkte eingezeichnet). 
767. Da die Tangentialkegel aus den Punkten der Doppel 
erzeugenden von der 2. Ordnung sind (756), so haben wir den Satz: 
Die orthogonale Projektion der geraden Normalenfläche 
auf jede Vertikalebene hat einen Kegelschnitt mit verti 
kaler Achse zum scheinbaren Umriß. Derselbe geht nämlich 
durch die Projektionen der vier Kuspidalpunkte hindurch, die paar 
weise zur x-Achse symmetrisch liegen. Im vorliegenden Falle ist 
der scheinbare Umriß eine Hyperbel, für die sich die Richtungen 
der Asymptoten in folgender Weise bestimmen. Ist WV der zu der 
betreffenden Vertikalebene TT 4 parallele Durchmesser von c, dann 
sind die gesuchten Asymptoten zu den Projektionen der Erzeugenden 
w und v durch W und F auf TT 4 parallel. Die asymptotische 
Tangentialebene der Erzeugenden w ist nämlich parallel zur Tangen 
tialebene des Richtungskegels unserer Fläche längs der zu w par 
allelen Mantellinie. Derselbe ist aber ein Normalkegel des ge 
gebenen Kegels f, die gemeinte Tangentialebene steht also senk 
recht auf SW und somit auf TT 4 ; der unendlich ferne Punkt auf w
	        
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