Verschiedene Flächen.
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direkt nachweisen. Ist c x irgend ein Horizontalschnitt der Fläche,
dann stehen je zwei entsprechende, auf der nämlichen Erzeugenden
liegende Punkte von c und c 1 , etwa P und P x auf p, in der folgenden
Beziehung zu einander. Ihre Abstände von DF stehen in einem
konstanten Verhältnis — es ist gleich dem Verhältnis der Abstände
des Punktes R von den Ebenen der Kurven c und c x — ebenso
stehen ihre Abstände von AB in einem konstanten Verhältnis.
Daraus folgt, daß die Kurven c und c x affin sind (17), was den
Satz beweist.
Vier beliebige Horizontalschnitte, etwa c und c v m und /, be
stimmen auf jeder Erzeugenden zwei Strecken, die in einem kon
stanten Verhältnis stehen. Sind X' und Y' die Krümmungsmittel
punkte für die Scheitelpunkte Ä und JE und sind A x und E x die
entsprechenden Scheitel von c v so ist: AÄ X : X'S' = EE X : S'Y' oder:
AA X ; EE X — S'E : AS'. Nehmen wir also AA X — ES', folglich
EE X = AS', so kommt durch Subtraktion: A x 8' = S'E X , wenn AS'
und AA X die gleiche Richtung haben; dagegen kommt durch Addition:
A X S' — S'E X , wenn AS' und AA X entgegengesetzte Richtung haben.
Unter den Horizontalschnitten der Normalenfläche sind demnach
zwei Kreise, der eine hat die Differenz der Halbachsen von c zum
Radius, der andere ihre Summe. Letzterer ist in der Figur wegen
seiner Größe weggelassen, ersterer als Kreis k eingetragen; u be
rührt k' in vier Punkten (p ist als gemeinsame Tangente von u
und K in einem dieser Punkte eingezeichnet).
767. Da die Tangentialkegel aus den Punkten der Doppel
erzeugenden von der 2. Ordnung sind (756), so haben wir den Satz:
Die orthogonale Projektion der geraden Normalenfläche
auf jede Vertikalebene hat einen Kegelschnitt mit verti
kaler Achse zum scheinbaren Umriß. Derselbe geht nämlich
durch die Projektionen der vier Kuspidalpunkte hindurch, die paar
weise zur x-Achse symmetrisch liegen. Im vorliegenden Falle ist
der scheinbare Umriß eine Hyperbel, für die sich die Richtungen
der Asymptoten in folgender Weise bestimmen. Ist WV der zu der
betreffenden Vertikalebene TT 4 parallele Durchmesser von c, dann
sind die gesuchten Asymptoten zu den Projektionen der Erzeugenden
w und v durch W und F auf TT 4 parallel. Die asymptotische
Tangentialebene der Erzeugenden w ist nämlich parallel zur Tangen
tialebene des Richtungskegels unserer Fläche längs der zu w par
allelen Mantellinie. Derselbe ist aber ein Normalkegel des ge
gebenen Kegels f, die gemeinte Tangentialebene steht also senk
recht auf SW und somit auf TT 4 ; der unendlich ferne Punkt auf w