Verschiedene Flächen. 
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droid eine Regelfläche 4. Grades ist. Offenbar ist s eine 
Doppelerzeugende desselben und zwar eine auf der Fläche 
liegende, oder eine isolierte, je nachdem k und k x — die verschobene 
Kurve k 0 — die Gerade s schneiden oder nicht. Denn die gemein 
samen reellen oder imaginären Punkte von k und k 0 entsprechen 
sich selbst, so daß nach der Verschiebung auf s entsprechende 
Punkte von h und k x liegen. Bei der projektiven Beziehung von k 
und k 0 und ihrer Ebenen, die im vorliegenden Falle affin ist, 
entsprechen die Punkte von s sich selbst. Nach der Verschiebung 
bilden die entsprechenden Punkte auf s zwei kongruente Punktreihen; 
ihre sich selbst entsprechenden Punkte fallen in einen einzigen 
unendlich fernen Punkt zusammen. Durch diesen gehen die beiden 
Doppelgeraden der Fläche (756), die ebenfalls zusammenfallen 
müssen, sonst würde die Fläche in Flächen niedrigeren Grades 
zerfallen. Das Cylindroid besitzt eine unendlich ferne 
Selbstberührungsgerade, längs der sich zwei Mäntel der Fläche 
berühren. 
Man erkennt das auch in. folgender Weise. Jeder zu s par 
allelen Sehne von k entspricht eine dazu parallele, gleich lange 
Sehne von k 0 und also auch von k l ; die ihre Endpunkte verbin 
denden Erzeugenden laufen parallel, schneiden sich also in einem 
Punkte der unendlich fernen Doppelgeraden. Diese ist die unend 
lich ferne Gerade der Richtebene, zu der alle Erzeugenden par 
allel sind; die Richtehene ist nämlich parallel zu s und zu den 
Mantellinien des zu Grunde gelegten Cylinders. Für jeden Punkt 
der unendlich fernen Doppelgeraden sind aber die beiden Tangen 
tialebenen identisch, da beide Erzeugenden durch ihn mit ihr in 
einer Ebene liegen; die beiden Flächenmäntel berühren sich also 
längs derselben. Die Berührungspunkte der beiden zu s parallelen 
Tangenten von k liegen auf den beiden Torsallinien der Fläche, 
deren Kuspidalpunkte unendlich fern sind. 
Bei der Darstellung der Fläche nehmen wir s vertikal an 
(Fig. 476); es ist nur der zwischen den Kurven k und k x liegende 
Teil der Fläche gezeichnet. AB und Ä 1 B 1 seien die vertikalen 
Durchmesser von k und k x , CB und C X B X die dazu konjugierten, 
0 und O x die bezüglichen Mittelpunkte; 0 0 sei der Mittelpunkt 
von k 0 (k 0 ist nicht gezeichnet). Die ersten Projektionen aller Er 
zeugenden sind unter sich parallel, zu ihnen parallel wählen wir 
auch die ¿’-Achse; der scheinbare Umriß wird von den ersten Pro 
jektionen der Torsallinien CC X und BB X gebildet. Für den Aufriß 
bildet die Striktionslinie u den wahren, ihre Projektion u' den