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Verschiedene Flächen. 
facher Weise als Hüllfiäche erzeugt werden; so ist die Rotations 
fläche Hüllfläche für die Kugeln, die sie längs der Parallelkreise 
berühren, aber auch für die Kegel, die sie längs dieser Kreise be 
rühren, sowie für die Cylinder, die sie längs der Meridiankurven 
tangieren. 
ITH. Die Dupin’sche Cyclide. Als Beispiel einer Hüllfläche 
wollen wir die Dupin’sche Cyclide behandeln; sie umhüllt alle 
Kugeln, welche drei gegebene feste Kugeln berühren. Um uns die 
hier auftretenden Verhältnisse bequem klar zu machen, gebrauchen 
wir einige ganz einfache Sätze über Kugeln, die wir zunächst auf 
stellen wollen. Zwei Kugeln K x und K 2 mit ihren Mittelpunkten 
M x und M 2 können in doppelter Weise als ähnlich und ähnlich 
liegend angesehen werden; die Ahnlichkeitscentren teilen die Central 
linie M X M 2 im Verhältnisse der Radien. In der That zieht man 
irgend zwei parallele, gleichgerichtete Radien M X P X und df 2 P 2 , so 
schneiden sich P X P 2 und M X M 2 in einem Punkte Ä auf der Ver 
längerung von M X M 2 , so daß AM X :AM 2 dem Verhältnis der Radien 
r x : r 2 gleich wird. Dieser Punkt Ä bleibt derselbe, wie man auch 
die parallelen Radien wählen mag und heißt das äußere Ahnlich- 
keitscentrum. Analog gehen die Verbindungslinien paralleler, 
aber entgegengesetzt gerichteter Radien durch einen Punkt J auf 
M X M 2 , für den M X J \JM 2 = r x :r 2 ist; / heißt das innere Ahn- 
lichkeitscentrum. 
Berührt eine Kugel A zwei Kugeln K x und K 2 , so geht die 
Verbindungslinie ihrer Berührungspunkte P x und P 2 durch das 
äußere oder innere Ähnlichkeitscentrum, je nachdem die Berührung 
für beide Kugeln eine gleichartige oder ungleichartige ist. Die 
Berührung heißt gleichartig, wenn beide Male die Kugeln sich 
äußerlich oder innerlich berühren; der erste Fall tritt ein, wenn 
die berührenden Kugeln sich gegenseitig ausschließen, der letzte, 
wenn eine die andere einschließt. P X P 2 schneidet die Kugeln K x und K 2 
noch je in einem weiteren Punkte Q x resp. Q 2 \ ist 0 der Mittel 
punkt von A, so geht OM x durch P x und OM 2 durch P 2 und es 
ist M x Q x \\M 2 P 2 (ebenso M X P X \\M 2 Q 2 ), da die gleichschenkligen 
Dreiecke Q X M X P X , P x OP 2 und P 2 M 2 Q 2 ähnlich sind. Die Gerade 
Q x P x P 2 Q 2 geht also in der That durch eines der beiden Ahnlichkeits 
centren, und zwar durch das äußere oder innere, je nachdem M l Q x 
und M 2 P 2 gleich oder entgegengesetzt gerichtet sind. 
Ist A eine Kugel und 8 ein beliebiger Punkt, so schneidet die 
Kugel auf den Strahlen durch 8 je zwei Punkte aus, für welche 
das Produkt ihrer Abstände von 8 konstant ist. Der Wert dieses