Verschiedene Flächen. 
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Produktes heißt die Potenz des Punktes S in Bezug auf die 
Kugel A, er ist positiv oder negativ, je nachdem die Schnittpunkte 
eines Strahles auf der nämlichen oder auf verschiedenen Seiten 
von 8 liegen. Daß die Produkte für zwei beliebige Strahlen den 
gleichen Wert haben, erkennt man sofort, da die Ebene durch die 
beiden Strahlen die Kugel in einem Kreise schneidet, der durch 
ihre Schnittpunkte mit der Kugel hindurchgeht; für einen Kreis ist 
aber die Gleichheit dieser Produkte bekannt. 
Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf zwei Kugeln A x und 
A., liegen in einer Ebene, die auf ihrer Centrallinie O x 0 2 senkrecht 
steht. Denn eine beliebige Ebene durch 0 X 0 2 schneidet die Kugeln 
in zwei Kreisen; die Punkte gleicher Potenz in Bezug auf diese Kreise 
liegen auf einer Senkrechten zu 0 1 0 2 und sind zugleich Punkte 
gleicher Potenz für beide Kugeln. Läßt man die beiden Kreise 
und ihre gemeinsame Potenzlinie um 0 1 0 2 rotieren, so erhält man 
die beiden Kugeln und ihre gemeinsame Potenzebene, deren Punkte 
gleiche Potenz für beide Kugeln besitzen. 
Alle Punkte gleicher Potenz in Bezug auf drei Kugeln liegen 
auf einer Normalen zu der Ebene ihrer Mittelpunkte, der gemein 
samen Potenzlinie. Denn die Schnittlinie der Potenzebene der 
ersten und zweiten Kugel mit der Potenzebene der zweiten und 
dritten Kugel hat die Eigenschaft, daß ihre Punkte die gleiche 
Potenz in Bezug auf alle drei Kugeln aufweisen, sie liegt deshalb 
auch auf der Potenzebene der ersten und dritten Kugel. 
Für alle Kugeln, die zwei feste Kugeln gleichartig (oder un 
gleichartig) berühren, ist deren äußeres (oder inneres) Ahnlichkeits- 
centrum ein Punkt gleicher Potenz. Berührt nämlich eine Kugel A 
die beiden festen Kugeln K x und K 2 in den _ Punkten F 1 resp. P 2 
gleichartig, so geht P X P 2 durch das äußere Ähnlichkeitscentrum Ä 
und schneidet die Kugeln noch in resp. Q 2 {M X Q X \\M 2 P 2 , M X P X \\M 2 Q,^). 
Dann ist ersichtlich Q X A: P 2 Ä = M 1 A : M 2 Ä — P X A: Q%A, also: 
AP l -AP 2 = AQ l -AQ 2 . Das Produkt dieser beiden gleichen Werte 
ist aber nichts anderes als Produkt der Potenzen von A in Bezug 
auf die Kugeln K x und K 2 , und da das letztere konstant ist, folgt, 
daß auch die Potenz AP X -AP 2 von A in Bezug auf A von der 
Wahl der berührenden Kugel A unabhängig ist. 
Werden drei Kugeln K x , K 2 , K 3 zugleich von drei KugelnA 2 , A 3 
berührt, so zwar, daß je zwei Kugeln K entweder von jeder Kugel A 
gleichartig oder ungleichartig berührt werden, so bestehen zwischen 
diesen Kugeln die folgenden Beziehungen. Für je zwei Kugeln A 
liegt das eine der beiden Ähnlichkeitscentren auf der gemeinsamen