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Verschiedene Flächen. 
Potenzlinie k der drei Kugeln K, und für je zwei Kugeln K liegt 
das eine der beiden Ahnlichkeitscentren auf der gemeinsamen 
Potenzlinie l der drei Kugeln A. Denn das eine Ähnlichkeitscentrum 
von Kj und K 2 ist ein Punkt gleicher Potenz für die drei Kugeln A, 
liegt also auf l, u. s. w. Die neun Berührungspunkte der Kugeln 
liegen zu je drei in drei Ebenen durch k und ebenso zu je drei in 
drei Ebenen durch l. Denn berührt \ die Kugeln Kp K 2 , K 3 in 
Pp P 2 , P 3 , so geht P X P 2 durch einen Ähnlichkeitspunkt der Kugeln 
Kp K 2 , der auf l liegt; ebenso treffen P 2 P 3 und 1\P 3 die Gerade l. 
Die Ebene P 1 P 2 P 3 geht durch l und schneidet \ in einem Kreise, 
der ihre drei Schnittkreise mit den Kugeln K berührt. Die Gerade k 
steht als Potenzlinie der drei Kugeln K senkrecht auf der Ebene 
ihrer Mittelpunkte M 1 , M 2 , M 3 ; sie liegt in der Ebene der Mittel 
punkte Op 0 2 , 0 3 der drei Kugeln A. da sie ein Ähnlichkeitscentrum 
für je zwei dieser Kugeln trägt. Ähnliches gilt für die Gerade l, 
die in der Ebene M 1 M 2 M 3 liegt und auf der Ebene 0 1 0 2 0 3 senk 
recht steht. 
778. Wir legen jetzt drei Kugeln Kp K 2 , K 3 mit den Mittel 
punkten M v M 2 , M 3 zu Grunde und betrachten die unendlich vielen 
Kugeln A, die sie alle drei gleichzeitig äußerlich oder innerlich be 
rühren. Der Mittelpunkt O i einer solchen Kugel A- ist Schnittpunkt 
dreier Kugeln, die mit , K 2 , K 3 resp. koncentrisch und deren 
Radien sich von den Radien dieser Kugeln um die nämliche additive 
(oder subtraktive) Konstante unterscheiden. Alle Kugeln A haben 
eine Linie gleicher Potenz l (l auf M X M 2 M^), auf der die äußeren 
Ähnlichkeitscentren für je zwei Kugeln K liegen. Je zwei Kugeln A 
besitzen ein Ähnlichkeitscentrum, das auf der gemeinsamen Potenz- 
linie k der drei Kugeln K liegt; die Mittelpunkte aller Kugeln A 
liegen in der zu l senkrechten Ebene durch k. Die Berührungs 
punkte aller Kugeln A mit der Kugel K x liegen auf einem Kreise c v 
dessen Ebene durch k geht; eine gleiche Bedeutung haben die 
Kreise c 2 und c 3 auf den Kugeln K 2 und K 3 . Die Berührungspunkte 
einer Kugel A mit den drei Kugeln K befinden sich auf den Kreisen 
Cp c 2 , c 3 und liegen in einer Ebene durch l. 
W erden zwei sich schneidende Kugeln von einer dritten gleich 
artig berührt, so liegen die Berührungspunkte zu verschiedenen 
Seiten der Ebene des Schnittkreises, wie leicht einzusehen. Zwei 
benachbarte Kugeln A berühren K x in zwei benachbarten Punkten 
von c 1 , die von der durch / gehenden Ebene ihres Schnittkreises 
getrennt werden. Läßt man beide Kugeln A zusammenfallen, so 
wird ihr Schnittkreis zum Kreis durcfr den Berührungspunkt von