Verschiedene Flächen. 
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A und K x ; ebenso gebt dieser Kreis durch die Berührungspunkte 
von A mit K 3 und K 3 . Die Kugeln A bilden eine stetige 
Folge; sie besitzen also eine gemeinsame Hüllfläche — 
die Dupin’sche Cyklide. Auf ihr liegen die Charakteri 
stiken der eingehüllten Kugeln; es sind das Kreise, deren 
Ebenen durch / gehen und die die Kugeln K x , K 2 , K 3 gleich 
artig berühren; sie schneiden die Kreise c v c 2 , c 3 in je 
einem Punkte. 
Wählen wir weiter aus den Kugeln A irgend drei A 1} A„, A 3 
aus, die alle drei Kugeln K äußerlich berühren. Dann bilden die 
unendlich vielen Kugeln K, welche A 1? A 2 , A 3 gleichzeitig äußer 
lich (oder innerlich) berühren, eine stetige Folge, die ebenfalls eine 
Cyklide zur gemeinsamen Hüllfläche haben. Auf ihr liegen die 
Kreise, deren Ebenen durch k gehen und die die Kugeln A 1? A.,, A 3 
gleichartig berühren; zu ihnen gehören auch die Kreise c 1 , c 2 , c 3 . Die 
Berührungspunkte der Kugeln K mit \ liegen auf einem Kreise d v 
dessen Ebene durch l geht; eine ähnliche Bedeutung haben die 
Kreise d 2 und d 3 auf den Kugeln A 2 und A 3 . Diese Kreise d^ d 2 , d 3 
gehören zu den Charakteristiken auf der Hüllfläche der Kugeln A. 
Wir werden nun zeigen, daß jede Kugel K von allen Kugeln A und 
jede Kugel A von allen Kugeln K berührt wird. Daraus folgt dann 
weiter, daß auf jeder Kugel K i ein Kreis c. liegt, der ihre Berührungs 
punkte mit den Kugeln A trägt; die Ebenen aller dieser Kreise 
gehen durch k. Ebenso folgt, daß auf jeder Kugel A m ein Kreis d m 
liegt, der ihre Berührungspunkte mit den Kugeln K trägt; die 
Ebenen dieser Kreise gehen durch l. Das bedingt weiter, daß 
jeder Kreis c jeden Kreis d schneidet, daß also die Kugeln K 
und die Kugeln A die nämliche Hüllfläche besitzen. 
Es bleibt nur noch zu beweisen, daß die Kugeln K 2 . und A m 
sich berühren. Das eine Ahnlichkeitscentrum der Kugeln K x und 
das wir A nennen wollen, liegt auf der gemeinsamen Potenzlinie l 
der Kugeln A; A ist somit ein Punkt gleicher Potenz für diese 
Kugeln. Zu ihnen gehört die Kugel A 1? die und in F 1 resp. B. 
berühren mag {B } B. durch A). Berührt A m die Kugel K L in C v und 
schneidet AC X die Kugel K ; in dem Punkte C i [M.C i nicht parallel 
zu M X C^), so giebt es eine Kugel M. die K x in C x und in C. berührt; 
M hat in Bezug auf A die gleiche Potenz, wie die Kugeln A. Die 
Kugeln A m und M berühren sich aber in C\, alle Punkte ihrer ge 
meinsamen Tangentialebene sind also für sie Punkte gleicher Potenz; 
da aber auch A in Bezug auf beide die gleiche Potenz aufweist, so 
müssen die Kugeln A m und M identisch sein. A m berührt K { in C.. 
Rohn u. Papperitz. II. 21