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Verschiedene Flächen. 
und ebenso den Potenzpunkt F 2 der Kreise i, h und d 2 
(j? 2 = ST X JF 2 x HFi n der Figur ist er nicht verzeichnet). 
Wir nehmen zunächst an, daß ST durch F und einen Punkt X 
harmonisch geteilt werde, dann ist JX die Polare von F in Bezug 
auf i\ denn sie muß durch den Pol J von E x F 2 gehen und mit F 
zusammen die Sehne ST harmonisch teilen. Demnach sind JF und 
JX harmonische Polaren und teilen den Winkel der Tangenten JE X 
und JE 2 harmonisch (289); es liegen also auch die Punkte F 1 F 2 FX 
harmonisch. Wir nehmen ferner an, daß ST durch Q und einen 
Punkt Y harmonisch geteilt werde, dann ist HY die Polare von Q in 
Bezug auf h. Demnach sind HQ und HY harmonische Polaren und 
teilen den Winkel der Tangenten HF( und HF 2 harmonisch, so daß 
auch die Punkte F^F^YQ harmonisch liegen. Nun giebt es aber 
nur ein Punktepaar, das die beiden Punktepaare ST und F X F 2 har 
monisch trennt, es sind die Doppelpunkte der Involution, der die 
beiden Paare angehören. Deshalb müssen die Punktepaare PX und 
YQ identisch sein und da F und Q verschieden sind, so werden 
sowohl ST wie F r F 2 durch P, Q harmonisch getrennt. 
Legen wir jetzt durch i als größten Kreis eine Kugel, so be 
rührt sie die Cyklide in einem vertikal gestellten Kreis c mit dem 
Durchmesser E 1 E 2 . Die Kugel, die h zum größten Kreise hat, 
schneidet die Cyklide in einer Kurve v, die natürlich aus zwei 
symmetrischen Teilen besteht. Sie schneidet c in zwei, der Kurve 
v ungehörigen Punkten P 1 und F 2 , die auf einer Vertikalen durch 
F und zu P symmetrisch liegen; denn die Kugeln durch i resp. h 
schneiden sich in einem vertikalen Kreis m mit dem Durchmesser ST. 
Da aber STPQ harmonisch liegen, so ist Q der Pol von P 1 P 2 in 
Bezug auf m, d. h. die Tangenten von m in F 1 und F 2 gehen durch 
Q. P^Q und P 2 Q berühren in diesen Punkten auch die Schnittkurve v, 
denn die Cyklide und die Kugel durch i berühren sich längs c. 
Hält man also die schneidende Kugel (durch h) fest und läßt die 
berührende Kugel sich ändern, so wird sich der Punkt Q auf F X F 2 
bewegen. Alle Tangenten der Kurve v treffen somit die Gerade E\F 2 ; 
die Kurve v ist deshalb keine wirkliche Raumkurve, sondern sie zer 
fällt in zwei ebene Kurven und zwar in zwei Kreise, denn sie liegen 
ja auf der schneidenden Kugel. 
Topographische Flächen. 
781. Jeder begrenzte Teil der Erdoberfläche bildet eine 
topographische oder Terrainfläche. Der begrenzte Teil wird 
so klein genommen, daß die Richtung der Schwerkraft in den