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Diess höchst paradoxe, zuerst nur empirisch beobachtete Phäno 
men hat dann in den letzten Jahren seine Erklärung gefunden, 
indem es Eie mann gelungen ist, mit Hülfe der feinsten Theo- 
rieen aus den neuesten Theilen der Integralrechnung, das Ge 
setz der Primzahlen in einer analytischen Formel zum Ausdruck 
zu bringen.“ Ist diese Studie. tJ ) des grossen leider so früh ge 
schiedenen Mathematikers bisher auch noch nicht im wünschens 
werten Masse ausgobeutet worden, so darf man eine solche 
Heu-Aufnahme seiner Untersuchung doch wohl von einer nahen 
Zukunft erwarten. 
Zu gleicher Zeit bewerkstelligte sich ein wichtiger Fort 
schritt auf dem anderen zuerst genannten Wege. Entwickelt 
man nämlich durch Einzeldivision die Lambert’sche Reihe in 
eine sogenannte Doppelreihe, so lässt sich dieselbe, was bekannt 
lich nicht allgemein gestattet ist, in diesem Falle in eine ge 
wöhnliche Potenzreihe contrahiren und geht in nachstehende 
Form über: 
S =: x + 2x 2 + 2x3 -f 8x± + 2x 5 + 4x (J + 2x 7 + 4x 8 
4- 8x !) + 4x 10 + 2X 11 + 6x 12 + 2x 13 + . . . 
Man erkennt, dass der Cocfficient von x m gleich der Anzahl 
der ganzzahligen Theiler sein wird, welche der Zahl m zukom 
men; ist also der Cocfficient gleich 2, so ist m eine Primzahl. 
Nehmen wir nun an, die Summe S sei in independent geschlos 
sener Form bekannt, so können wir S nach dem Verfahren von 
Maclau rin in eine Potenzreihe entwickeln. Der Cocfficient 
jeder Potenz kann durch successive Differentiation aus S herge 
leitet werden, und setzt man den allgemeinen Ausdruck eines 
solchen höheren Differentialquotienten = 2, so involvirt augen 
scheinlich diese Relation das Gesetz der Primzahlen. Zwei Auf 
gaben müssen sonach gelöst werden; die Suramirung der Lam 
bert’sehen Reihe und die Ableitung des independenten mten 
Differcntialquotienten dieses Summenwerthes. 
Das ersterwähnte Problem hat M. Curtze 1ö ) mit Hülfe be 
stimmter Integrale erledigt; die unter dem Integralzeichen 
Mit dem Studium dieser auch für die Astronomie wichtigen Funktion haben 
sich mehrere der bedeutendsten Analytiker, wie Mascheroni, Bretschnei- 
d e r und S c h 1 p m i 1 c h, dann aber auch die A stron omen Soldner und 
Bessel, befasst.