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Soll aber P einen Punkt unserer krummen Linie darstellen, so muss 
‘PFj • PF 2 = a 2 oder PF[ CPF* = a 4 , 
mithin 
(x 2 -f- y 2 -f- e 2 ) 2 — 4^ e 2 x x = a 4 
oder 
(x 2 + y 2 ) 2 —2e 2 (x 2 — y 2 ) = a 4 — e 4 . . . (I) 
sein. 
Die Cassinische Linie nimmt sehr verschiedenartige Formen 
an, wenn man das Verhältnis ihrer Bestimmungsstücke e und a 
ändert. Setzen wir dies Verhältnis 
e 
— ~ £ ? 
a 
so sind folgende Fälle bemerkenswert: 
1) Fürs=0 stellt (I) einen Kreis dar; denn es ist dann 
e = 0 und folglich geht (I) über in x 2 -j- y 2 = a 2 , die Mittel 
punktsgleichung eines Kreises vom Halbmesser a. 
2) Ist 0 < s < — ]/^2, so hat die Cassinische Kurve eine 
der Ellipse ähnliche Gestalt; 
3) für-i-|/2< i'< 1 besitzt sie eine geschlossene, aber 
an den Durchschnittspunkten mit der Ordinatenaxe einge 
drückte Form. 
4) Im Falle s = l, folglich, e = a spezialisiert sich (I) zu 
(x 2 + y 2 ) 2 = 2 a 2 (x 2 — y 2 ); .... (51) 
einer Gleichung, welche eine oo förmige Kurve ausdrückt; letztere 
wird deshalb auch Schleifenlinie oder Lemniskate genannt. 
5) Wenn s > 1 wird, so trennt sich die Cassinische Kurve in 
zwei, die Punkte Fj und F 2 umgebende eiförmige Linien, und 
6) für £ = oo ? folglich a — 0, repräsentiert die Gleichung (I) 
nur die beiden Punkte F a und F 2 ; denn (I) ist entstanden aus 
der Beziehung 
[J 2 + (x + e) 2 ] • [y 2 + (x — e) 2 ] = a 4 , 
welche sich für a = 0 zerlegt in die beiden Relationen 
(x —J— e ) 2 —J— y 2 = 0 und (x — e) 2 -j- y 2 = 0 
und jede derselben wieder in 
x = — e und y = 0, sowie x = e und y = 0. 
Das linke Gleichungspaar stellt aber den Punkt Fj und das 
rechte den Punkt F 2 dar.