4) Stellt die feste Linie einen Kreis und die sich bewegende 
eine Gerade dar, so ist die Bahn eines Punktes der letzteren 
eine krumme Linie, welche die Namen Kreisevolvente und 
Fadenlinie führt. 
Aus diesen Entstehungsarten der Rolllinien kann man ohne 
Schwierigkeiten auf ihren Verlauf schliessen: z. B. dass die erst 
genannte Kurve aus unendlich vielen unter sich kongruenten 
Teilen, den sogenannten Cykloidenzweigen besteht; dass für 
die zweite und dritte Kurve dasselbe gilt, dass aber die Anzahl 
der Zweige offenbar endlich oder unendlich ist, jenachdem die 
Halbmesser beider Kreise commensurabel oder incommensurabel 
sind; und schliesslich, dass die Fadenlinie eine spiralähnliche 
Gestalt haben wird. 
Ferner ergeben sich ohne Mühe aus obigen Definitionen die 
Konstruktionen der Cykloiden; wir wollen hier nur noch ihre 
Gleichungen entwickeln. 
§ H9. 
Die gemeine Cykloide. 
Nehmen wir die feste Gerade zur Abscissenaxe und den 
Anfangspunkt eines Cykloidenzweiges zum Ursprung eines recht 
winkligen Koordinatensystems, so seien OQ = x, QP = y die 
beiden Koordinaten eines beliebigen Punktes P auf der Cykloide 
(Fig. 49) und MN = MP = r der Radius des Rollkreises mit 
dem erzeugenden Punkte P. 
Es ist aber nun für diese Art von Kurven vorteilhaft, an 
statt eine Gleichung zwischen den Veränderlichen x und y 
zwei Gleichungen mit drei Variablen aufzustellen; die dritte 
Veränderliche sei nämlich der Winkel PMN = ^, um welchen 
sich der Radius PM von seiner Anfangslage OY aus gedreht 
hat und welcher Wälzungswinkel genannt werden soll. 
Nun folgt zunächst aus dem En 4 .mingsgesetze der Cykloide 
ÖN~=PN =i>, 
und setzt man diesen Wert, sowie ML = rcos<^ und QN = PL 
= r sin <p in die Beziehungen 
OQ = ON — QN und QP = MN — ML