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Nun weiss man aus der Trigonometrie, bezw. kann man sich 
leicht herleiten die beiden Formeln 
3 cos cp —(— cos 3 cp = 4 cos :5 cp, 
3 sin cp — sin 3 cp = 4 sin 3 cp, 
deren Einführung- in die beiden ersten Gleichungen ergiebt 
X Y 
-r— = cos 3 cp und ~ = sin 3 cp. 
4r T 4r T 
Potenziert man jetzt vorstehende beide Relationen mit 2 / 3 und 
addiert sie, so folgt 
(¿) /S + (jf) /S = cos2 9 + «in 2 9 = 1, 
7a 
oder, wenn 4r = a gesetzt und mit a multipliziert wird: 
73 7b 7b 
X +y =a (61) 
die Gleichung einer Kurve, welche ihrer sternförmigen Gestalt 
wegen auch den Namen Astroide führt. Ohne Schwierigkeit 
kann man (61) auf die rationale Form 
(x 2 -j- y 2 — r 2 ) 8 + 27 r 2 x 2 y 2 = 0 
bringen und hieraus erkennen, dass die Astroide zu den Kurven 
der sechsten Ordnung gehört. 
§ 125. 
Die Kreisevolvente. 
Behufs Aufstellung der Gleichungen dieser Kurve be 
zeichnen wir den Radius OA des festen Kreises mit r (Fig. 52) 
und legen ein rechtwinkliges Parallelkoordinatensystem so an, 
dass der Ursprung in den Mittelpunkt 0 des Kreises fällt und 
die X-Axe durch den Anfangspunkt A der Evolvente geht. 
Dann gilt für jeden Punkt P der Kreisevolvente MP= MA, oder, 
wenn der Winkel, welchen der dem Berührungspunkte M zu 
gehörige Radius MO mit OX einschliesst, durch cp bezeichnet wird: 
MP — r cp. 
Zieht man jetzt ME||OY und PDjjOX, so folgt für die Koordi 
naten OQ = x und QP = y des Punktes P 
x = OE-f DP und y = ME — MD, 
oder, wenn hierin OE = r cos cp, DP = MP sin cp = rep sin cp, 
ME = r sin cp und MD = MP cos cp = r cp cos cp gesetzt wird: