84 
Punkte). Sätze ohne Winkelgleichheit, die für den Kreis be 
wiesen werden, gelten demnach sofort auch entsprechend für alle 
Arten von Kegelschnitten. Die Lehre von den Tangenten beim 
Kegelschnitt können wir nun mit Hilfe des Kreises leicht er 
weitern. Natürlich läßt sich der betreffende Satz auch einzeln 
für jeden Kegelschnitt beweisen. Doch sind die Beweise am 
Kreise einfacher. 
Man ziehe von einem äußeren Punkte zwei Tangenten an 
einen Kreis, verbinde die Berührungspunkte mit dem Mittelpunkte 
und erhält einen Winkel am Mittelpunkte. Dann durchschneide 
man beide Tangenten durch eine dritte Kreistangente. Die 
Schnittpunkte derselben mit den beiden ersten verbinde man 
wieder mit dem Mittelpunkte und beweise leicht durch Dreiecks 
kongruenz, daß der so entstehende Mittelpunktswinkel die Hälfte 
des ersten ist, also, wenn die ersten beiden Tangenten fest 
bleiben, auch stets dieselbe Größe für irgend eine dritte Tangente 
hat. Es folgt der Satz: 
Satz 1. Verschiebt man eine bewegliche Tangente in vier 
verschiedene Lagen, so daß sie auf zwei festen Tangenten desselben 
Kegelschnittes je vier entsprechende Punkte AB CD und A 1 B 1 C 1 D 1 
liefern, so ist das Doppelverhältnis für die vier Punkte der einen 
gleich dem der anderen festen Tangente. 
Es ist leicht zu zeigen, daß zwei Winkel wie AMB und 
A X MB ± für den Kreis gleich sind (durch den oben genannten 
Satz der beweglichen Tangente), daraus folgt für den Kreis die 
Gleichheit der entsprechenden Winkel der Strahlenbüschel und 
für die anderen Kegelschnitte die Gleichheit der anharmonischen 
Verhältnisse. 
Man kann mit Hilfe des Satzes 1 für zwei projektivische 
Punktreihen beliebig viele Tangenten konstruieren, welche mit 
hin gewissermaßen alle die Kurve „einhüllen“ (d. h. bei end 
licher Krümmung unendlich kleine Stücke der Kurve ergeben). 
Satz 2. Zu drei Punkten einer Punktreihe gibt es nur