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unendlicher Kreise usw. Der im Unendlichen liegende harmonische vierte Punkt 
entspricht einem ganz bestimmten, der für das Endliche die Mitte der Strecke 
ist; einem an anderer Stelle im Unendlichen liegenden vierten harmonischen 
Punkte entspricht ein anderer innerer Punkt, der aber ebenfalls für das End 
liche in den Mittelpunkt fällt. Für Berücksichtigung der höheren und der 
niedrigeren Ordnung muß man unendlichkleine Strecken in der mittleren Gegend 
der Strecke unterscheiden und kann nicht einfach von einer Mitte sprechen; es 
muß überhaupt der Begriff der Mitte immer nur nach den WeitenbehafGingen 
definiert werden ebenso wie der Begriff des unendlichfernen Punktes. Darum 
gelten auch die harmonischen Verhältnisse für die entsprechenden angewendeten 
Behaftungen. 
Durchschneidet man drei von 0 ausgehende feste Strahlen 
(Fig. 17) durch irgend einen Strahl O x AB oder O x DC, so ent 
steht ein Viereck ABCD, die Diagonalen mögen sich in G 
schneiden. Dann liegen auf diesen von E und F ausgehenden 
Diagonalen die vier (durch Flecke kenntlich gemachten) Punkte 
EAGC und FDGB. Diese Reihen müssen dasselbe Doppel- 
verhältnis haben, weil drei von 0 nach ihnen gehende Strahlen 
dieselben sind und G sogar gemeinschaftlicher Punkt, also OG 
auch derselbe Strahl ist. Es ist aber der vierte Punkt G nicht 
beliebig angenommen worden, sondern durch eine ganz bestimmte 
Konstruktion vermittels eines Vierecks erzielt worden. Man 
möchte vermuten, daß dies Doppelverhältnis ein solches ganz 
besonderer Art sei. Wählt man zu dem Strahle 0,1) G einen 
anderen 0 1 D 1 C 1 anstatt von O x AB, so erhält man ein anderes 
Viereck DCD 1 C 1 und auf den Diagonalen desselben die beiden 
Pimktreihen E 1 DG 1 C\ und E x D y (V, C. Auch diese haben gleiches 
anharmonisches Verhältnis und zwar wieder dasselbe wie die 
Punktreihen der Diagonalen des ersten Vierecks ABCD, wenig 
stens sollte man vermuten, daß der vierte Strahl OG derselbe 
wäre wie 0G X . Nehmen wir aber dies auch vorläufig noch nicht 
an, so werden wir doch die Art des Doppelverhältnisses für zwei 
Diagonalen desselben Vierecks aufzudecken suchen. Betrachtet 
man nicht bloß die Schnitte zweier aneinanderstoßender Seiten