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Die folgenden Sätze sind von früher her bekannt oder leicht 
zu beweisen, 
Satz 8. Die Hälfte einer Strecke ist das geometrische 
Mittel zwischen den Entfernungen des Halbierungspunktes bis 
zum inneren und äußeren harmonischen Teilpunkte der Strecke. 
Satz 9. Zwei zusammengehörige Strahlen eines harmonischen 
Büschels (erster und dritter oder zweiter und vierter) halbieren, 
wenn sie senkrecht aufeinander stehen, die Winkel zwischen den 
beiden anderen Strahlen, Die Halbierungslinie eines Dreiecks 
winkels und seines Nebenwinkels teilt die Gegenseite harmonisch 
und zwar nach dem Verhältnis der einschließenden Dreieckseiten. 
Satz 10. Teilt man eine Strecke harmonisch nach ge 
gebenem Verhältnisse und errichtet über der Entfernung der 
beiden Teilpunkte als Durchmesser einen Kreis (Appollo- 
nischer Kreis) so ist derselbe der geometrische Ort für die 
Spitze desjenigen über der Strecke zu errichtenden Dreiecks, 
dessen beide anderen Seiten jenes Teilverhältnis besitzen (Apollo- 
nischer Satz). 
Satz 11. Wenn sich zwei Kreise rechtwinklig schneiden 
(Radien senkrecht zueinander), so wird der Durchmesser eines 
dieser Kreise von dem anderen harmonisch geteilt. 
Satz 12. Zieht man von einem äußeren Punkte zwei 
Tangenten an einen Kreis, so wird der von dem äußeren Punkte 
ausgehende Kreisdurchmesser durch diesen Punkt und die Be 
rührungssehne harmonisch geteilt. Aber auch jede durch den 
äußeren Punkt (Pol) gehende Sekante wird vom Kreise und der 
Berührungssehne (Polare zum äußeren Pol beziehlich des Kreises) 
harmonisch geteilt. 
Erklärung. Ist einer von vier harmonischen Punkten 
Pol genannt, so heißt die im zugeordneten Punkte auf der Ge 
raden der Punktreihe errichtete Senkrechte die Polare jenes Poles 
(also der geometrische Ort des zugeordneten Punktes, falls die 
Gerade der harmonischen Punktreihe sich um jenen Pol dreht).