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der zweite Scheitel der Ellipse oder der Mittelpunkt von der anderen Seite her 
als Hyperbelscheitel oder Mittelpunkt zurück. Solche Idee nützt mathematisch 
nicht viel, wenn man nicht Klarheit in die sonderbare Lage des Hyperbel 
mittelpunktes bringen und die Asymptoten der Hyperbel für diese Ellipse er 
klären kann. Betrachtet man den Scheitelpunkt A x (Fig. 28) als einen Punkt 
der Hyperbel, so gelingt es in der Tat die Eigenschaft dieses Punktes auch 
durch das Summengesetz, also nach der Ellipsendefinition, hei Benutzung der 
unendlichen Kugel nachzuweisen. Es ist nämlich A X MF -f- A X F X — F 2 ML 
— AFMF 1 A 1 , also gleich der ergänzenden Achse, die sich von A über den auf 
der anderen Seite der Kugel liegenden Gegenpunkt M bis A, erstreckt und die 
Länge 360 — AM‘A X hat. Man könnte versucht sein, da AM‘A X die Konvex 
achse ist (Achse der Hyperbel), diese Ergänzung zu 360 0 die ergänzende Achse 
zu nennen. Dies ist richtig. Aber oh man sie als Konkavachse einer einzigen 
unendlichen kugeligen Ellipse fassen darf, das bedarf denn doch einer genauen 
Prüfung! 
Ich nahm, als ich diese Untersuchung zuerst machte, einen Punkt wie 
P 2 in Eig. 28 als Ellipseupunkt an, da sich sofort zeigte, daß z. B. Punkt M 
oder F\ nicht dem Ellipsengesetz gehorchte, also nicht Ellipsenpunkt sein 
konnte. In der Tat ist der von P 2 nach dem Innengehiete des dort ange 
nommenen Ellipsenzuges gerichtete Eadiusvektor P 2 F\F — 180 -|- P 2 F\, und 
der andere von P 2 uach F laufende Radiusvektor ist als geodätische Linie auf 
dem größten durch F und seinem „Gegenpunkte“ F‘ und durch P 2 gelegten 
Kreise zu suchen und zwar nach unseren obigen Betrachtungen auf dem 
kürzeren, ins Äußere der Ellipse, also von P 2 nach F gehenden Wege zu 
suchen. Er ist also P 2 P (nach hinten herum) = 189 — P 2 F‘. Bilden wir die 
Summen beider, so ist sie 360 — (P 2 P — P 2 P‘i). Dies ergibt aber die unend 
liche Achse A X MA oder 360 — A X M‘A, falls P 2 P‘ — P 2 P' X gleich der Konvex 
achse A X M‘A der Hyperbel ist. Da nun die Gegenbrennpunkte F‘ und F\ zu 
einander dieselbe Lage haben wie die Brennpunkte F und F x der Hyperbel, so 
müßte P 2 zu diesen Gegenbrennpunkten F‘ und F\ dieselbe Lage haben wie 
ein Punkt der Hyperbel in der Gegend der Scheitel A t und A; denn für einen 
solchen, etwa P genannt, gilt ja PF — PP' == AA L — 2 a. Also müßte P 2 
gerade der Gegenpunkt zu einem Hyperbelpunkte P in der Gegend von A x 
sein, und da P 2 auf der anderen Seite der Kugel (vor der Papierebene) liegen 
soll, so müßte P (nicht gezeichnet) auf dem hinteren Halbkreise F\F X oben 
der (nach rechts fortgerückte) Mittelpunkt (der Parabel) von der linken Seite 
her und man hat die Hyperbel“.