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Linie AMA\ (d. h. 180 — 2 a, wenn 2 a der Radius der Leitkreise 
oder AA X ist), falls man die kürzesten Entfernungen nach F 2 
und F\ zieht, ist oder so daß die Differenz der Vektoren gleich 
der ergänzenden Achse AA i M‘A‘A , 1 = 180 -f- 2 a ist, so erhält 
man eine kugelige elliptische Linie, welche mit dem einen 
Zweige der Hyperbel VF 2 und dem einen Zweige der Hyperbel 
VF\ zusammenfällt. Ihr Mittelpunkt M hat einen‘Gegenmittel 
punkt M‘\ diese Punkte werden beide Ellipsen- oder Konkav 
mittelpunkte heißen; die genannte Ellipse hat eine Gegen 
ellipse mit den Brennpunkten F x und F\, sie hat eine Konkav- 
achse AMA\, die andere eine Gegenkonkavachse A^'A 1 . 
Man kann auch beide Ellipsen, wir wir gleich bei dem 
folgenden Beweise sehen werden, durch Leitkreise hersteilen und 
definieren, deren Mittelpunkte ebenfalls F 2 und F\ bzw. F x und 
F 2 sind, deren Kreisflächen aber nicht die kleineren Konkav 
gebiete sind, welche in der Fig. 29 die Brennpunkte zunächst 
umgeben, sondern jedesmal der übrige Konvexteil der ganzen 
Kugeloberfläche (so ist die um F‘ 2 gezogene kleine Kreislinie zu 
gleich die Kreislinie für den Mittelpunkt F 2 , aber der Radius 
dieses Leitkreises ist nicht 2 a sondern 180° — 2 a). 
Nennen wir die beiden kongruenten kugeligen 
Ellipsen (Fig. 29), deren vorn liegende Bogen von A bis A\ 
und von A x bis A‘ stark gezogen sind, den allgemeinen 
kugeligen Kegelschnitt, so besitzt derselbe vier 
Brennpunkte, deren je zwei Gegenpunkte sind, vier 
Leitkreise mit je einem Konvex -und Konkavgebiete, 
die zusammen die ganze Kugelfläche ausmachen, zwei Kon 
vexmittelpunkte, zwei Konvexachsen, zwei Konkav 
mittelpunkte, zwei Konkavachsen und enthält so 
wohl dieEigenschaften der Ellipse wie der Hyperbel 
(für geodätische Entfernungen). 
Ist die Kugel unendlich (von zweiter Ordnung), so zeigen die endlichen 
Gegenden diesen allgemeinen Kegelschnitt teilweise und zwar als endliche ebene