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müssen wir verschiedene Weitenbehaftungen anwenden, eine un
endlich große Kugel, um die sämtlichen ebenen Kegelschnitte
ohne jeden Fehler (nicht bloß angenähert) als Fälle der nunmehr
einzigen Kegelschnittform: „des allgemeinen Kegelschnittes auf
der unendlichen Kegelschnittkugel“ uns vorstellen zu können
(siehe Anfang dieses Abschnittes), Daß wirklich dieser allgemeine
kugelige Kegelschnitt als Schnitt eines Kegels vorgestellt werden
kann, wird sich in einem besonderen Kapitel über den in das
Unendliche erweiterten Kegel ergeben. Es ist endlich klar, daß
die euklidische, durch einen Punkt zu einer (endlichen) Geraden
zu legende einzige Parallele für das Unendliche auch krumm
sein und aus mehreren sich unter endlichkleinen Winkeln
schneidenden Linien („übereuklidischen“ Parallelen*)) bestehen kann,
was namentlich für die Durchmesser z, B. der Parabel, überhaupt
für Durchmesser- und Sehnensätze (nächster Abschnitt) wichtig
sein muß.
Übungen XIII.
(Vgl. Fig. 32 c und Kapitel XV, Schluß.)
1. Man zeichne für zwei kleine, weit voneinanderliegende
Leitkreise die Hyperbel in der Ebene, dann für eine Kugel, bei
einer Lage der vier Brennpunkte wie in Fig. 29, aber sehr kleinen
Leitkreisen den kugeligen Kegelschnitt (vgl. Frage 7). 2. Zeichne
für zwei sich schneidende Leitkreise, so daß jeder Mittelpunkt
sehr nahe dem Umfange des anderen Kreises, aber noch außer
halb liegt, in der Ebene den Kegelschnitt und dann auf der
Kugel (auf einer Schusterkugel mit Tinte oder Farben und dann
b Ygl. meinen Aufsatz (und Vortrag auf der Naturf.-Yers. Sept. 1903 in
Cassel): Grundgedanken eines übereuklidischen Geometrie durch die Weiten
behaftungen des Unendlichen, in; Jahresber. der deutschen Mathematiker-
Vereinigung (Prof. Dr. Gutzmer, Jena; B. G. Teubner, Leipzig); Mai 1904 und
mein später erscheinendes Buch der übereukl. Geometrie.
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