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wir mit Fx die Punkte S, S 2 , S 3 verbinden, die auf dem Kreise 2 a endliche 
Entfernung voneinander und auch vom Punkte D haben sollen. Eine klare 
Erfassung des Wesens der Asymptote aber verlangt, daß wir die Punkte S 
nicht bloß beliebig endlich (!) nahe an D heranbringen, sondern beliebig d. h. 
nahe unter Anwendung des Kontinuierlichen, zunächst also des Unendlichkleineu 
erster Ordnung. 
Soll P 4 ein unendlichentfernter Punkt der Hyperbel sein (Fig. 30 und 31), 
so ist auch das Mittellot auf S 4 P 2 unendlich, also I\Qi unendlich (die Tangente 
bis zur Hauptachse); und unendlichklein von erster Ordnung sind die folgenden 
Winkel und Strecken: Winkel bei P 4 , Winkel bei T, Schnitt von P 4 P, und 
Asymptote, Winkel DFxSx, Bogen oder Sehne P>S 4 . Das Dreieck gemischter 
Weitenbehaftung PS 4 P 2 bat zwei endliche und eine Seite von der Weiten- 
behaftung S 1 uneudlichklein von erster Ordnung oder erstem Grade. Würde 
man von S 4 auf DF 2 das Lot fällen, so wäre dies uneudlichklein vom zweiten 
Grade, denn $ 4 P und Winkel bei D sind vom Grade § l , folglich wäre, wie man 
leicht einsehen kann und aus der Lehre von den Weitenbehaftungen oder den 
„Grundsätzen des Unendlichen“ hervorgeht, der Winkel bei F 2 , also S 4 P 2 D 
ebenfalls vom Grade S 2 . Die Mittellote der diesen Winkel einschließenden Seiten 
müssen, vorgestellt für entsprechende Weitenbehaftungen, ebenfalls einen Winkel 
S 2 einschließen; es ist dies die Asymptote und die Tangente in P 4 , die sich in 
P 4 schneiden mögen, also der Winkel in P 4 . 
Das Dreieck PP 4 P 4 hat also ebenso wie das Dreieck PS 4 P 2 je einen 
Winkel von der Behaftung S und S 2 . Es fragt sich, welchen Behaftungen die 
Seiten des ersteren Dreiecks angehören und die Abstände zwischen der zu P 4 
gehörigen Tangente und der Asymptote z. B. TT (Fig. 31: das Lot von T auf 
die Tangente) oder auch FE“ (das Lot von E auf dieselbe Tangente) oder 
auch das Achsenstück MQ± (in Fig. 30, welches derselben Behaftung angehören 
muß). Da Asymptote und Tangente (Fig. 81) die Mittellote sind auf den Strecken 
DF 2 und S 4 P 2 , so liegt die Verbindung der Mitten EE‘ parallel zu _DS 4 und 
verhält sich zur letzteren ebenso wie F 2 E: F 2 D. Da die beiden letzten Größen 
aber endlich sind, so gehört EE‘ derselben Weitenbehaftung an wie P>S 4 , ist also 
vom Grade S\ Da aber E‘EE“ gleich SJJS 1 und E‘E“ ebenso wie das Lot 
S^S 1 vom Grade S 2 sind (sie liegen in den von P 2 ausgehenden Dreiecken mit 
zwei endlichen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel F 2 von der Behaftung 
S 2 als Gegenseiten dieses Winkels), so muß EE“ ebenso wie DS‘ oder DS oder 
EE‘ unendlichklein von erster Ordnung sein. Ist nämlich in einem Dreiecke 
ein Winkel wie F 2 um zwei Grade niedriger in der Behaftung wie die ein- 
schließenden Seiten und gehören die beiden anderen Winkel der endlichen Be-