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ist kein willkürlicher, da das Parallelsein selbst nur bezüglich der Weiten- 
bebaftungen aufgestellt wird. 
Wenden wir uns nun zum Zuge der Hyperbel selbst im Unendlichen und 
vergleichen ihn mit der Asymptote: Es seien P 3 und P 4 (Eig. 30) zwei vom 
Scheitel unendlichentfernte Punkte der Hyperbel, dann gelten für die beiden 
in ihnen berührenden Tangenten die genannten Sätze. Beide Punkte haben 
also einen Abstand § (dies möge kurz heißen ein unendlicbkleiner Abstand und 
nichts weiter aussagen über den im Unendlichkleinen wohl gültigen Unter 
schied dieser Abstände). Irgend ein Punkt der Hyperbel zwischen P 3 und P 4 
hat von der Asymptote ebenfalls den Abstand S, doch steht dies im Unendlich 
kleinen in irgend einem Verhältnis zu den vorigen vorausgesetzt, daß die 
genannten Hyperhelpunkte unendlichgroßen Abstand voneinander haben. Stellt 
man sich vor, P 3 und P 4 seien durch eine unendliche Gerade verbunden, so ist 
dies eine Gerade ersten Grades, wenn es auf endliche Verkürzungen nicht mehr 
ankommt, eine solche zweiten Grades, wenn es auf Verkürzungen von der 
Ordnung § nicht ankommt. Der zwischen P 3 und P 4 liegende Hyperbelpunkt 
liegt nicht auf jener Geraden, wenn man die zweite Dimension noch mit S be 
haftet, wohl aber auf dieser unendlichen Geraden ersten Grades. Versetzt man 
sich in der Vorstellung in eine Gegend des Hyperbelzuges, welche unendlich 
entfernt von der Scheitelgegend ist und betrachtet in der Vorstellung dort be 
liebig viele in endlichen Entfernungen voneinander liegende Hyperbelpunkte, 
so liegen sie alle auf einer endlichen Geraden, bei welcher es auf unendlich 
kleine Verkürzungen vom Grade nicht mehr ankommt, die also wieder vom 
zweiten Grade ist. 
Legt man durch unendlich vom Scheitel entfernte Punkte der Hyperbel 
Tangenten, so fallen ihre endlichen Stücke in der Gegend jener Punkte 
für endliche oder «LBehaftung der senkrechten Dimension zusammen; sie 
fallen auch zusammen mit den dort liegenden endlichen Kurvenstücken, 
sind parallel zur Asymptote und haben einen unendlichkleinen Abstand 
von ihr. 
Das sogenannte fortwährende Annähern der Hyperbel an die Asymptote, 
ihr etwaiges Parallelsein oder Zusammenfallen mit ihr sind demnach nicht etwa 
ganz falsche Redensarten, nur sind sie durch die unbestimmten Beiwörter un 
genau und können durch die Verwendung der Weitenbehaftungen durch genaue 
ersetzt werden. Die Asymptote ist in der Tat eine im Unendlichen berührende 
Tangente, sobald man die zu ihr senkrechte Dimension mit endlicher Strecken 
vorstellung behaftet. Die Kurve selbst fällt im Endlichen nirgends mit der 
Asymptote zusammen, ist zu ihr nicht parallel, hat auch mit der im Endlichen 
Geißler, Kegelschnitte. 9