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XV b. Die Kegel gemischter Weitenhehaftung und 
die Kegelschnittkugel. 
Die Gerade und die Ebene definierten wir nicht als absolute Gebilde, 
sondern nach Weitenbehaftungen. Eine Gerade für das Endliche kann für das 
Unendliche zur Kreislinie oder, zu anderen Kurven erweitert werden, ohne irgend 
welchen Widerspruch gegen die endliche Geometrie zu ergeben, der ebene 
Kegelschnitt zu einem kugligen unendlichen; und zwar liefert uns diese 
Möglichkeit, ohne irgend welche Widersprüche für die endlichen Kegelschnitte 
mit ihren Sätzen, die großen Vorteile einer einheitlichen Definition der ver 
schiedenen Kegelschnitte. Für das Endliche entstanden diese Kurven auch 
mittels der Durchschneidung eines Kreiskegels von geradliniger Achse und 
geraden Seitenlinien durch eine Ebene. Für das Endliche gemischt mit den 
anderen Weitenbehaftungen dürfen Kegelachse wie Seitenlinien als unendliche 
krumme Linien gefaßt werden, während die schneidende endliche Ebene zur 
unendlichen Kugelfläche erweitert wird. 
Die ebene Hyperbel besteht aus zwei Zweigen und kann doch als Schnitt 
einer Ebene und eines einzigen Doppelkegels angesehen werden. Da wir 
jeden Zweig zur unendlichen kugligen Ellipse erweiterten und dadurch die 
einzige gemeinsame Form für alle Kegelschnitte fanden, so werden wir auch 
wünschen, solche Erweiterung des ebenen Doppelkegels zu einem einzigen 
unendlichen Doppelkegel zu finden, welche irgend ein gewähltes Beispiel 
des allgemeinen Kegelschnittes als Schnitt mit der Kugel ergibt. Nun gibt es 
für irgend ein gewähltes Beispiel eines ebenen Kegelschnittes unendlichviele 
Kegel, deren ebener Schnitt die Kurve ist. Entsprechend und in noch höherem 
Grade wird es auch unendlichviele gekrümmte unendliche Kegel geben für eine 
solche Kurve auf der Kegelschnittkugel; in noch höherem Grade darum, weil 
eine gewisse Freiheit in der Art der Krümmung für das Unendliche vorliegen 
wird, abgesehen davon, daß die Kegelspitze auf einem geometrischen Orte liegen 
wird. Da der allgemeine Kegelschnitt zu allen bei ihm vorkommenden Punkten 
Gegenpunkte hat, so wird auch der allgemeine Kegel gemischter Weiten- 
behaftung vorgestellt werden müssen mit zwei Scheiteln. 
Erste Bedingung für seine Gestalt ist, daß sein Scheitel je auf dem 
geometrischen Orte zu suchen ist, der sich ergibt für die Gegenden (Scheitel 
gegenden) des Kegelschnittes, die für endliche Behaftung eben sind. Ist solcher 
geometrische Ort derart, daß er sich ins Unendliche erstreckt, so wird man für 
seine Erweiterung eine gewisse Freiheit besitzen. Zweite Bedingung ist,