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Stücke der beiden Parallelen b und b x gleich sein müßten. Dies sind sie aber 
als Summanden aller unendlichen Größen, d. h. für unendliche x und y. Man 
könnte auch zwei für das Endliche parallele Gerade schreiben y — tg («) • x -j- b 
und y = tg (« -j- 8) • x + by und findet wieder unendlichen Schnitt. 
Es ist demnach möglich, auch übereuklidische Parallelen, die für das End 
liche zusammenfallen zur einzigen euklidischen, analytisch zu behandeln (siehe 
die Grundlagen der übereuklidischen Geometrie des Verfassers). 
Satz, Die Gleichung für ein auf einer Geraden errichtetes 
Lot erhält man dadurch, daß man als Richtungsgröße dieses 
Lotes die umgekehrte (reziproke) und mit entgegengesetztem Vor 
zeichen versehene Richtungsgröße der Geraden nimmt (durch eine 
Figur leicht zu beweisen) und die übrigen Größen der Lot 
gleichung danach bestimmt, durch welchen Punkt das Lot gelegt 
werden soll. 
Satz. Die Mitte einer Strecke mit bestimmten Endpunkten 
x 1 -y 1 und x 2 ;y 2 hat als Koordinaten je das arithmetische Mittel 
der Koordinaten der Endpunkte, alo {■ {x x -j- x 2 ) und % (y x -f- y 2 ) 
(leicht aus einer Figur durch Trapeze zu beweisen, indem man 
die sechs Koordinaten zeichnet). 
Satz. Die Länge der Entfernung zweier Punkte x t ; y x und 
x 2 ; y 2 findet man nach dem Pythagoreischen Lehrsätze leicht durch 
Zeichnung der vier Koordinaten als s = (x x — x. 2 ) 2 -p {y x — y 2 ) 2 
(am leichtesten im ersten Quadranten abzulesen; in den anderen 
entstehen kleine Schwierigkeiten mit den Vorzeichen; was aber 
im ersten Quadranten gilt, gilt auch in den anderen unter Be 
nutzung der Vorzeichen der betreffenden Koordinaten). 
Gedächtnisregel: 
Die Streckenlänge — merk dir das! — 
Ergibt dir der Pythagoras. 
Satz. Für die Winkelhalbierende eines Winkels, dessen 
Schenkel die Richtungsgrößen tan cp und tan cp x haben, ergibt 
sich als Winkel mit der positiven «-Achse ip — ^ ^ oder