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in dem Scheitel Aj ein Lot errichten, welches den Kreis schneidet; 
dann wäre dies Lot A 1 JB 2 oder (auf die y-Achse übertragen) M‘B 
eine entsprechend gebildete kleine Halbachse, die aber nicht in 
einem Punkte der Kurve endet, und wir haben aus e‘ 2 == a /2 -}- &' 2 
a' 2 = — b 12 -f e' 2 . (4)' 
Also unterscheidet sich Hyperbel und Ellipse durch das ver 
schiedene Vorzeichen von h 2 , indem es beim Kegelschnitt für 
Konkavmittelpunkt heißt b 2 und für den Konvexmittelpunkt — b‘ 2 . 
Entfernt man nun aus (3) die Größe e bzw. e‘ mittels der 
Gleichungen (4), so entsteht die gewöhnliche (Konkav-)Gleichung 
der Ellipse 
rp £ 
^ + V2 — 1 und 
r 
= 1 
(5) 
als Konvexgleichung des Kegelschnittes (der Hyperbel). 
Die Gleichung der endlichen Parabel ergibt sich leicht aus 
der Bestimmung, daß für irgend einen Punkt P derselben der 
Leitstrahl (das Lot auf die Leitlinie) gleich dem Brennstrahle 
sein soll. Nimmt man den großen Scheitel A (Schnittpunkt mit 
der großen Achse) als Nullpunkt, so daß die Scheiteltangente 
y-Achse wird, so folgt nach dem Pythagoras, weil der Brennpunkt 
vom Scheitel die Entfernung p/2 und von der Leitlinie die Ent 
fernung p haben soll 
(;x -f- p/2) 2 = y--J- {x —p/2) 2 oder y 2 = 2px. (6) 
Dies heißt die Scheitelgleichung der Parabel, weil der 
Scheitel der Nullpunkt ist. Wir werden womöglich auch eine 
Mittelpunktsgleichung für die Parabel suchen, und, was leichter 
erscheint, zur Vergleichung die Scheitelgleichung der Ellipse und 
Hyperbel. Den Konkavmittelpunkt (der Ellipse) verschieben wir 
um die halbe Konkavachse d. h. a, so daß der links liegende 
Scheitel zum Nullpunkt wird. Dann ist statt x zu setzen x — a 
und für die Hyperbel, indem man den Scheitel des rechten 
Zweiges zum Nullpunkt macht, haben wir statt x zu setzen x a‘. 
Durch leichte Kechnung findet man dann die Scheitelgleichungen