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Setzen wir diesen Wert ein, so müßten wir nachweisen, daß 
,2 
-\-F 1 X) ■ e = P 2 F X • a oder 
a“—e i 
e 
+ F t X\ e = P,F 1 
a 
oder a 2 —e 2 -f- F x X • e = P. 2 F X • a 
richtig ist. Darin stört die Größe F x X, weil sie auf der anderen 
Seite der Gleichung nicht verkommt; wir werden sie durch a, e 
und PF 1 zu ersetzen suchen. Es ist aber nach dem Pythago 
reischen Lehrsätze F x X -f- P 2 X 2 = P 2 F- X . Weil wir auf P 2 P 2 
kommen müssen, so ist dabei zu benutzen, daß P 2 X 2 = P 2 ^2 2 — 
P 2 X 2 , und da wir die Definition P 2 P 2 — 2a — P 2 P, benutzen 
müssen und P 2 X ersetzen werden durch (Figur!) 2 a + F x X, so 
wird der Pythagoras zu 
F x X* + (2 a - P n F x y — (2 e + F ± X) 2 = P 2 F ± 2 
n2 p p 
d. h. + F.X =~—— 31 . 
1 1 e 
Setzt man diesen Wert ein in die als richtig zu beweisende 
Gleichung a 2 —e 2 -f- F x X ■ e = P 2 P 1 • a, so ergibt sich für unsere 
Lage von X 
a 2 —6 2 + a • P 2 P 1 — {a 2 -e 2 ) = P. 2 F, . a 
oder a • P 2 F X — a • P 2 Pj. 
Die Gleichung war demnach richtig, die Annahme ist bestätigt, 
daß für jeden Punkt der Leitkreisellipse gilt P 2 P 2 ; P 2 F 1 = a: e. 
Nachdem man dies gefunden, wäre es auch nicht schwer, in 
umgekehrter Form zunächst den W T ert von + F x X abzuleiten 
oder für unsere Lage von X die Gleichheit P 1 X = ~P 2 F 1 — a — e -. 
Dann wäre zu zeigen, daß 
a* 
-r 
G 2 F 1 ist, also durch Ein- 
setzung F x X + G 2 F t = G. 2 X = L 2 P 2 =°- . P n J\ oder P 2 P 2 :P 2 P 
= a: e. 
Der Nachweis, daß auch für alle Punkte P 3 (punktiert, 
Fig. 9) dasselbe Verhältnis von Leitstrahl zu Brennstrahl statt- 
flndet, wenn P 3 als Punkt der Hyperbel durch Leitkreiskonstruktion